Vamos agora obter uma forma diferencial para a lei de Gauss. Note que a carga total pode ser expressa como:
onde
é a densidade volumétrica de carga no ponto
e
é a região delimitada por
.
OBS: Note que
é bem definida mesmo para distribuições contínuas em 1D ou 2D e para distribuições discretas. Basta utilizarmos funções delta para expressá-las apropriadamente!
Com isso, a lei de Gauss fica:
Aplicando o teorema de Gauss ao lado esquerdo, obtemos:
e portanto:
Como este resultado deve valer para qualquer volume
, concluímos que os integrandos devem ser iguais:
Esta é a lei de Gauss em forma diferencial. Note que ela expressa diretamente o valor da divergência do campo em termos da densidade volumétrica de carga!
OBS: Note que
Com isso, a lei de Gauss fica:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a forma diferencial da lei de Gauss a partir da forma integral, usando a densidade volumétrica de carga e o teorema da divergência. Vamos precisar de:
– a definição de carga total em função de ,
– a forma integral da lei de Gauss,
– o teorema da divergência (ou de Gauss).
– a definição de carga total em função de
– a forma integral da lei de Gauss,
– o teorema da divergência (ou de Gauss).
Passo 2
Expressamos a carga total contida na superfície
como integral de volume da densidade:
onde
é o volume limitado por
.
Passo 3
A lei de Gauss na forma integral diz que o fluxo de
através de
é igual à carga interna dividida por
:
Passo 4
Pelo teorema da divergência, o fluxo pelo contorno
pode ser escrito como integral de volume da divergência de
:
Passo 5
Igualando as duas expressões de integral de volume, temos
Como isso vale para qualquer volume
, os integrandos são iguais em cada ponto: