Vamos agora obter uma forma diferencial para a lei de Gauss. Note que a carga total pode ser expressa como:
Q int ^S=integralV rho(r) d v
onde rho(r) é a densidade volumétrica de carga no ponto r e V é a região delimitada por S.
OBS: Note que rho(r) é bem definida mesmo para distribuições contínuas em 1D ou 2D e para distribuições discretas. Basta utilizarmos funções delta para expressá-las apropriadamente!
Com isso, a lei de Gauss fica:
ointS E(r) cdot d A=integralV rho(r)varepsilon0 d v
Aplicando o teorema de Gauss ao lado esquerdo, obtemos:
ointS E(r) cdot d A=integralV nabla cdot E(r) d v
e portanto:
integralV nabla cdot E(r) d v=integralV rho(r)varepsilon0 d v
Como este resultado deve valer para qualquer volume V, concluímos que os integrandos devem ser iguais:
nabla cdot E=rhovarepsilon0
& E=E(n) & p=p(n)
Esta é a lei de Gauss em forma diferencial. Note que ela expressa diretamente o valor da divergência do campo em termos da densidade volumétrica de carga!

Passo 1

O enunciado pede para derivar a forma diferencial da lei de Gauss a partir da forma integral, usando a densidade volumétrica de carga e o teorema da divergência. Vamos precisar de:
– a definição de carga total em função de rho(r),
– a forma integral da lei de Gauss,
– o teorema da divergência (ou de Gauss).

Passo 2

Expressamos a carga total contida na superfície S como integral de volume da densidade:
Qint^S ;=;integralV rho(r),dv
onde V é o volume limitado por S.

Passo 3

A lei de Gauss na forma integral diz que o fluxo de E através de S é igual à carga interna dividida por varepsilon0:
ointS E(r)cdot dA ;=; integralV rho(r)varepsilon0,dv

Passo 4

Pelo teorema da divergência, o fluxo pelo contorno S pode ser escrito como integral de volume da divergência de E:
ointS E(r)cdot dA ;=; integralV l(nabla!cdotE(r)r),dv

Passo 5

Igualando as duas expressões de integral de volume, temos
integralV nabla!cdotE,dv ;=; integralV rhovarepsilon0,dv
Como isso vale para qualquer volume V, os integrandos são iguais em cada ponto:
nabla!cdotE ;=;rhovarepsilon0

Resposta

nabla!cdotE = rhovarepsilon0

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