Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, encontrando a solução geral
d yd x+y cos (x)=sin (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: dydx + y cos(x) = sin(x). O que estamos lidando aqui são equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
dydx + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, temos P(x) = cos(x) e Q(x) = sin(x) .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função mu(x) que, quando multiplicada em toda a equação, torna a parte esquerda uma derivada exata. A fórmula para o fator integrante é:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular:
mu(x) = e^integral cos(x) dx = e^sin(x)

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) :
e^sin(x) dydx + e^sin(x) y cos(x) = e^sin(x) sin(x)
Observe que a parte da esquerda agora é a derivada do produto mu(x) y :
ddx ( e^sin(x) y ) = e^sin(x) sin(x)

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação em relação a x :
integral ddx ( e^sin(x) y ) dx = integral e^sin(x) sin(x) dx
Isso simplifica para:
e^sin(x) y = -e^sin(x) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y dividindo ambos os lados por e^sin(x) :
y = -1 + C e^-sin(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = -1 + C , e^-sin(x)

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