Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, encontrando a solução geral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
. O que estamos lidando aqui são equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função
que, quando multiplicada em toda a equação, torna a parte esquerda uma derivada exata. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Observe que a parte da esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: