Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão pede. Temos a equação diferencial
. Nosso objetivo é classificar essa equação como Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e depois resolver ela. Vamos precisar entender os conceitos de equações lineares e métodos de resolução para essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. Uma equação diferencial é linear de primeira ordem se puder ser escrita na forma
, onde
e
são funções de
. Já a equação de Bernoulli tem a forma
, onde
é um número real.
Comparando com a nossa equação
, vemos que ela se encaixa na forma linear porque não há termo com
elevado a uma potência diferente de 1. Portanto, é uma Equação Linear de Primeira Ordem.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação linear
. Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante.
O fator integrante
é dado por:
Onde
é o coeficiente de
na equação.
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com
. Ou seja:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: