Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
d yd x+2 y=e^x

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão pede. Temos a equação diferencial d yd x + 2 y = e^x. Nosso objetivo é classificar essa equação como Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e depois resolver ela. Vamos precisar entender os conceitos de equações lineares e métodos de resolução para essas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. Uma equação diferencial é linear de primeira ordem se puder ser escrita na forma d yd x + P(x) y = Q(x), onde P(x) e Q(x) são funções de x. Já a equação de Bernoulli tem a forma d yd x + P(x) y = Q(x) y^n, onde n é um número real.
Comparando com a nossa equação d yd x + 2 y = e^x, vemos que ela se encaixa na forma linear porque não há termo com y elevado a uma potência diferente de 1. Portanto, é uma Equação Linear de Primeira Ordem.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação linear d yd x + 2 y = e^x. Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante.
O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Onde P(x) é o coeficiente de y na equação.
No nosso caso, P(x) = 2, então:
mu(x) = e^integral 2 dx = e^2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^2x d yd x + e^2x cdot 2 y = e^2x cdot e^x
Simplificando:
e^2x d yd x + 2 e^2x y = e^3x

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com y. Ou seja:
dd x ( e^2x y ) = e^3x

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral dd x ( e^2x y ) dx = integral e^3x dx
Isso resulta em:
e^2x y = 13 e^3x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y dividindo ambos os lados por e^2x:
y = 13 e^x + C e^-2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 13 e^x + C e^-2x

Exercícios relacionados