Resolva as equações diferenciais de Bernoulli, transformando-as em uma equação linear.
d yd x-3 y=x^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada de Equação de Bernoulli, que é assim:
dydx - 3y = x^2 y^2
A matéria aqui envolve equações diferenciais não-lineares e a gente vai precisar transformar essa equação em uma equação linear para conseguir resolver mais fácil. Para isso, vamos usar uma substituição específica que simplifica a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da Equação de Bernoulli, que é:
dydx + P(x)y = Q(x)y^n
No nosso caso, temos:
  • P(x) = -3
  • Q(x) = x^2
  • n = 2
A ideia é fazer uma mudança de variável que transforma essa equação não-linear em uma linear. Para isso, vamos definir uma nova variável z tal que:
z = y^1 - n = y^1 - 2 = y^-1

Passo 3

Agora, vamos derivar z em relação a x . Sabemos que:
z = y^-1 Rightarrow dzdx = -y^-2 dydx
Vamos reescrever a equação original em termos de z . Primeiro, isolamos dydx :
dydx = 3y + x^2 y^2
Agora, substituímos dydx na expressão para dzdx :
dzdx = -y^-2 (3y + x^2 y^2) = -3 y^-1 - x^2
Como z = y^-1 , temos:
dzdx + 3z = -x^2

Passo 4

Agora, a equação ficou linear:
dzdx + 3z = -x^2
Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 3 dx = e^3x
Multiplicamos toda a equação por mu(x) :
e^3x dzdx + 3 e^3x z = -x^2 e^3x
O lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) z :
ddx ( e^3x z ) = -x^2 e^3x

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^3x z ) dx = integral -x^2 e^3x dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^3x z . Para a direita, usamos integração por partes, ou reconhecemos que a integral de x^2 e^3x pode ser resolvida iterativamente. O resultado da integral é:
e^3x z = -x^2 e^3x3 + 2x e^3x9 - 2 e^3x27 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos z :
z = -x^23 + 2x9 - 227 + C e^-3x
Lembrando que z = y^-1 , então:
y = 1 -x^23 + 2x9 - 227 + C e^-3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 1 -x^23 + 2x9 - 227 + C e^-3x
Onde C é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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