Resolva as equações diferenciais de Bernoulli, transformando-as em uma equação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial chamada de Equação de Bernoulli, que é assim:
A matéria aqui envolve equações diferenciais não-lineares e a gente vai precisar transformar essa equação em uma equação linear para conseguir resolver mais fácil. Para isso, vamos usar uma substituição específica que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, temos:
A ideia é fazer uma mudança de variável que transforma essa equação não-linear em uma linear. Para isso, vamos definir uma nova variável
tal que:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Sabemos que:
Vamos reescrever a equação original em termos de
. Primeiro, isolamos
:
Agora, substituímos
na expressão para
:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, a equação ficou linear:
Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a direita, usamos integração por partes, ou reconhecemos que a integral de
pode ser resolvida iterativamente. O resultado da integral é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
:
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.