Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
d yd x+y ln (x)=x

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial para resolver: dydx + y ln(x) = x. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, uma ferramenta que ajuda a simplificar equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
dydx + P(x) y = Q(x)
Aqui, P(x) = ln(x) e Q(x) = x. Agora que identificamos P(x) e Q(x), podemos prosseguir para encontrar o fator integrante.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = ln(x), temos:
mu(x) = e^integral ln(x) , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral de ln(x):
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C
Portanto, o fator integrante fica:
mu(x) = e^x ln(x) - x = x^x e^-x

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante mu(x):
x^x e^-x dydx + x^x e^-x y ln(x) = x^x e^-x cdot x
Isso simplifica para:
ddx ( y cdot x^x e^-x ) = x^x + 1 e^-x

Passo 6

Integrando ambos os lados da equação:
y cdot x^x e^-x = integral x^x + 1 e^-x , dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y dividindo ambos os lados por x^x e^-x:
y = x^-x e^x ( integral x^x + 1 e^-x , dx + C )

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x^-x e^x ( integral x^x + 1 e^-x , dx + C )

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