Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
d yd x+y=x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial dydx + y = x^2 y^3. Nosso objetivo é primeiro classificar essa equação: ela é uma equação linear de primeira ordem ou uma equação de Bernoulli? Depois, vamos resolver ela passo a passo. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza cada tipo de equação e aplicar a técnica adequada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral:
dydx + P(x) y = Q(x)
Já a equação de Bernoulli tem a forma:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n
Comparando com a nossa equação dydx + y = x^2 y^3, vemos que o termo y^3 indica que é uma equação de Bernoulli, onde n = 3.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma equação de Bernoulli, vamos resolver usando a substituição adequada. Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
v = y^1 - n
No nosso caso, n = 3, então:
v = y^1 - 3 = y^-2

Passo 4

Vamos derivar v em relação a x:
dvdx = -2 y^-3 dydx
Agora, vamos substituir dydx da nossa equação original:
dydx = x^2 y^3 - y
Substituindo na expressão de dvdx:
dvdx = -2 y^-3 (x^2 y^3 - y) = -2 (x^2 - y^-2)
Mas como v = y^-2, temos:
dvdx = -2 x^2 + 2 v
Rearranjando:
dvdx - 2 v = -2 x^2

Passo 5

Agora, temos uma equação linear de primeira ordem em v:
dvdx - 2 v = -2 x^2
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral -2 dx = e^-2x
Multiplicando toda a equação por mu(x) :
e^-2x dvdx - 2 e^-2x v = -2 x^2 e^-2x
Isso simplifica para:
ddx [v e^-2x] = -2 x^2 e^-2x

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
v e^-2x = integral -2 x^2 e^-2x dx + C
Vamos resolver a integral por partes. Seja u = x^2 e dv = e^-2x dx. Então, du = 2x dx e v = -12 e^-2x.
Aplicando a integração por partes:
integral x^2 e^-2x dx = -12 x^2 e^-2x + integral x e^-2x dx
Repetindo a integração por partes para integral x e^-2x dx, obtemos:
integral x e^-2x dx = -12 x e^-2x + 14 e^-2x + C
Então, juntando tudo:
v e^-2x = -2 ( -12 x^2 e^-2x - 12 x e^-2x + 14 e^-2x ) + C
Simplificando:
v e^-2x = x^2 e^-2x + x e^-2x - 12 e^-2x + C
Multiplicando ambos os lados por e^2x:
v = x^2 + x - 12 + C e^2x

Passo 7

Lembrando que v = y^-2, temos:
y^-2 = x^2 + x - 12 + C e^2x
Tomando o inverso e a raiz quadrada:
y = 1raizx^2 + x - 12 + C e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 1raizx^2 + x - 12 + C e^2x
Onde C é a constante de integração.

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