Classifique em Linear de Primeira Ordem ou Bernoulli e resolva cada uma das equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo é primeiro classificar essa equação: ela é uma equação linear de primeira ordem ou uma equação de Bernoulli? Depois, vamos resolver ela passo a passo. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza cada tipo de equação e aplicar a técnica adequada para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma geral:
Já a equação de Bernoulli tem a forma:
Comparando com a nossa equação
, vemos que o termo
indica que é uma equação de Bernoulli, onde
.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma equação de Bernoulli, vamos resolver usando a substituição adequada. Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Agora, vamos substituir
da nossa equação original:
Substituindo na expressão de
:
Mas como
, temos:
Rearranjando:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem em
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver a integral por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Repetindo a integração por partes para
, obtemos:
Então, juntando tudo:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Tomando o inverso e a raiz quadrada:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.