Questão 3: ( ponto) Determine se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries e entender um pouco sobre séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p, onde p = 14 .
Passo 3
Agora, sobre séries p: elas têm a forma sumn=1^infty 1n^p e convergem se p > 1 . Se p <= 1 , a série diverge.
No nosso caso, p = 14 , que é menor que 1. Então, a série dos valores absolutos diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda pode ser condicionalmente convergente. Para verificar isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz).
Passo 5
O Teste da Série Alternada diz que a série sum (-1)^n an converge condicionalmente se:
an é decrescente: an+1 <= an para todo n .
limn to infty an = 0 .
No nosso caso, an = 1n^1/4 .
Passo 6
Vamos verificar as condições:
Decrescente: Conforme n aumenta, 1n^1/4 diminui. Ou seja, an+1 < an .
Limite: limn to infty 1n^1/4 = 0.
Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^nn^1 / 4 é condicionalmente convergente.