Questão 3: ( 3 times 1 ponto) Determine se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^nn^1 / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty (-1)^nn^1 / 4 é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para resolver isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries e entender um pouco sobre séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^nn^1 / 4 | = sumn=1^infty 1n^1 / 4
Essa é uma série p, onde p = 14 .

Passo 3

Agora, sobre séries p: elas têm a forma sumn=1^infty 1n^p e convergem se p > 1 . Se p <= 1 , a série diverge.
No nosso caso, p = 14 , que é menor que 1. Então, a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não é absolutamente convergente. Mas ainda pode ser condicionalmente convergente. Para verificar isso, usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz).

Passo 5

O Teste da Série Alternada diz que a série sum (-1)^n an converge condicionalmente se:
  1. an é decrescente: an+1 <= an para todo n .
  2. limn to infty an = 0 .
No nosso caso, an = 1n^1/4 .

Passo 6

Vamos verificar as condições:
  1. Decrescente: Conforme n aumenta, 1n^1/4 diminui. Ou seja, an+1 < an .
  2. Limite: limn to infty 1n^1/4 = 0.
Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^nn^1 / 4 é condicionalmente convergente.

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