Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, encontrando a solução geral
d yd x+2 x y=e^-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
d yd x + 2x y = e^-x^2
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para a equação.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da equação que se encaixam na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
d yd x + P(x) y = Q(x)
No nosso caso:
  • P(x) = 2x
  • Q(x) = e^-x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( mu(x) ). Esse fator é dado por:
mu(x) = e^integral P(x),dx
Substituindo P(x) = 2x :
mu(x) = e^integral 2x,dx = e^x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) :
e^x^2 cdot d yd x + e^x^2 cdot 2x y = e^x^2 cdot e^-x^2
Simplificando o lado direito:
e^x^2 cdot e^-x^2 = e^0 = 1
Então, a equação fica:
e^x^2 cdot d yd x + 2x e^x^2 y = 1

Passo 5

A expressão da esquerda agora é a derivada do produto mu(x) y :
ddx ( e^x^2 y ) = 1
Isso acontece porque:
ddx ( e^x^2 y ) = e^x^2 d yd x + 2x e^x^2 y
Que é exatamente o que temos na equação.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a x :
integral ddx ( e^x^2 y ) dx = integral 1,dx
A integral da derivada é apenas o próprio produto:
e^x^2 y = x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, resolvemos para y isolando-o:
y = e^-x^2 (x + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^-x^2 (x + C)

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