Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, encontrando a solução geral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução geral para a equação.
Passo 2
Primeiro, identifique os termos da equação que se encaixam na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
). Esse fator é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
A expressão da esquerda agora é a derivada do produto
:
Isso acontece porque:
Que é exatamente o que temos na equação.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral da derivada é apenas o próprio produto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, resolvemos para
isolando-o:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: