Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, encontrando a solução geral
d yd x-yx=x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão nos pede para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é do tipo:
dydx - yx = x^2
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação. Esse método nos ajuda a transformar a equação original em uma forma que facilita encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação para aplicar o método do fator integrante. A equação está no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
dydx + P(x)y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
dydx - yx = x^2
A gente tem:
  • P(x) = -1x
  • Q(x) = x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(x) ), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, encontramos a integral de P(x) :
integral P(x) dx = integral -1x dx = -ln|x|
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^-ln|x| = 1x

Passo 4

Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por mu(x) para obter:
mu(x) cdot dydx + mu(x) cdot P(x) y = mu(x) cdot Q(x)
Substituindo os valores:
1x cdot dydx - 1x cdot yx = 1x cdot x^2
Simplificando:
1x dydx - yx^2 = x

Passo 5

A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x)y . Então podemos escrever:
ddx ( yx ) = x
Isso porque:
ddx ( yx ) = 1x dydx - yx^2
Que é exatamente o que obtivemos na etapa anterior.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar y :
integral ddx ( yx ) dx = integral x , dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente yx , e a do lado direito é:
integral x , dx = x^22 + C
Onde C é a constante de integração.
Então temos:
yx = x^22 + C

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por x :
y = x ( x^22 + C ) = x^32 + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^32 + Cx
Onde C é uma constante arbitrária.

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