Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, encontrando a solução geral
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão nos pede para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é do tipo:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação. Esse método nos ajuda a transformar a equação original em uma forma que facilita encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação para aplicar o método do fator integrante. A equação está no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
A gente tem:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Vamos calcular isso passo a passo. Primeiro, encontramos a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Com o fator integrante calculado, multiplicamos toda a equação original por
para obter:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
A ideia do fator integrante é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Isso porque:
Que é exatamente o que obtivemos na etapa anterior.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é:
Onde
é a constante de integração.
Então temos:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.