Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, encontrando a solução geral
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é do tipo linear. O enunciado que temos é:
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método é muito útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que
.
Passo 5
A equação agora fica:
Isso acontece porque o lado esquerdo é a derivada do produto
, graças ao fator integrante.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Ou, de forma simplificada: