Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem, encontrando a solução geral
d yd x+4 y=8 e^-4 x, y(0)=2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é do tipo linear. O enunciado que temos é:
dydx + 4 y = 8 e^-4 x, y(0) = 2
Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método é muito útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está no formato padrão:
dydx + P(x) y = Q(x)
Aqui, P(x) = 4 e Q(x) = 8 e^-4x .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 4 :
mu(x) = e^integral 4 dx = e^4x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x) :
e^4x dydx + 4 e^4x y = 8 e^0 = 8
Perceba que e^4x cdot e^-4x = e^0 = 1 .

Passo 5

A equação agora fica:
ddx ( e^4x y ) = 8
Isso acontece porque o lado esquerdo é a derivada do produto e^4x y , graças ao fator integrante.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x :
e^4x y = integral 8 dx + C
e^4x y = 8x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos y dividindo ambos os lados por e^4x :
y = 8x + Ce^4x = 8x e^-4x + C e^-4x
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar o valor de C :
2 = 8(0) e^0 + C e^0 Rightarrow 2 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 8x e^-4x + 2 e^-4x
Ou, de forma simplificada:
y = (8x + 2) e^-4x

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