Classifique as matrizes abaixo em escalonada, escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a matriz
A = 1 & -3 & 4 & 7 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 1 & 5
como estando em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, em ambas ou em nenhuma.
Conteúdo: definição de forma escalonada (row echelon form) e forma escalonada reduzida (reduced row echelon form). Vamos verificar as condições de cada uma.
Passo 2
Definição de forma escalonada. Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz:
Todas as linhas que são completamente nulas (se houver) aparecem abaixo das linhas não nulas.
O primeiro elemento não nulo de cada linha (pivô) está estritamente à direita do pivô da linha anterior.
Em cada coluna de pivô, todos os elementos abaixo desse pivô são zeros.
Passo 3
Verificando as condições para A:
Não há linhas nulas, logo a condição 1 está OK.
Pivôs: linha 1 em coluna 1, linha 2 em coluna 2 e linha 3 em coluna 3; cada pivô está à direita do da linha anterior, então a condição 2 está OK.
Abaixo de cada pivô temos zeros (coluna 1 abaixo de 1 são zeros, coluna 2 abaixo de 1 também, e coluna 3 idem), logo a condição 3 está OK.
Portanto, A está em forma escalonada.
Passo 4
Definição de forma escalonada reduzida. Além de ser escalonada, requer que:
Todo pivô seja igual a 1.
Em cada coluna de pivô, todos os elementos acima do pivô também sejam zeros.
Passo 5
Em A os pivôs já valem 1, satisfazendo a primeira condição. Porém, na coluna do pivô da primeira linha (coluna 1) os elementos acima estão triviais, mas na coluna do pivô da segunda linha (coluna 2) há -3 acima do 1 (em posição (1,2)), e na coluna do pivô da terceira linha (coluna 3) há 4 acima do 1 (em posição (1,3)). Essas entradas não são zeros, portanto a condição de zeros acima dos pivôs falha.
Resposta
A matriz está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida.