Classifique as matrizes abaixo:
(matriz linha, coluna, nula, identidade, diagonal, etc.)
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para classificar a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Ou seja: listar quais categorias se aplicam (por exemplo: matriz linha, coluna, nula, identidade, diagonal, etc.). As informações dadas são apenas os elementos da matriz: entrada a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}=1.]

Passo 2

Definição e verificação de “matriz identidade”.
  • Definição: a matriz identidade de ordem 2 é a matriz I_2 que tem 1 na diagonal principal e 0 fora dela. Ou seja,
I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Verificação: a matriz dada coincide com I_2. Portanto A=I_2. Consequência prática: para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^2 vale A x = I_2 x = x. Isso é a propriedade definidora da identidade.]

Passo 3

Classe “diagonal” e “matriz escalar”.
  • Definição (diagonal): uma matriz 2\times2 é diagonal se as entradas fora da diagonal principal são zero, isto é a_{12}=a_{21}=0.
  • Verificação: na matriz dada a_{12}=0 e a_{21}=0, logo é diagonal.
  • Definição (matriz escalar): é uma matriz da forma c I_2 com c\in\mathbb{R}.
  • Verificação: A=1\cdot I_2, logo é uma matriz escalar com c=1.

Passo 4

Classe “simétrica”.
  • Definição: A é simétrica se A^T=A, onde A^T é a transposta (linhas viram colunas).
  • Cálculo da transposta:
A^T=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=A.
  • Conclusão: A é simétrica.]

Passo 5

Classe “ortogonal”.
  • Definição: A é ortogonal se A^T A = I_2 (equivalente a colunas ortonormais).
  • Cálculo:
A^T A = I_2 I_2 = I_2.
  • Conclusão: A é ortogonal. (No caso do I_2, toda verificação é trivial porque A=I_2.)

Passo 6

Classe “idempotente” e “involutória”.
  • Definição (idempotente): A é idempotente se A^2=A.
  • Verificação:
A^2 = I_2^2 = I_2 = A.
  • Definição (involutória): A é involutória se A^2=I_2. Aqui também A^2=I_2, então A é involutória — neste caso idempotência e involutividade coincidem porque A=I_2.

Passo 7

Classe “inversível” (não singular) e determinante.
  • Definição: A é inversível se existe A^{-1} tal que A A^{-1}=I_2. Uma condição prática: \det(A)\neq0.
  • Cálculo do determinante:
\det(A)=1\cdot1-0\cdot0=1.
  • Como \det(A)=1\neq0, A é inversível. Além disso A^{-1}=I_2 (a própria matriz).

Passo 8

Classe “posto” (rank) e independência linear.
  • Definição: o posto \operatorname{rank}(A) é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes.
  • Observação: as duas colunas de I_2 são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}, que são linearmente independentes.
  • Conclusão: \operatorname{rank}(A)=2 (posto máximo para matrizes 2\times2).

Passo 9

Classe “triangular” (superior e inferior).
  • Definição: matriz triangular superior tem zeros abaixo da diagonal; triangular inferior tem zeros acima.
  • Verificação: A tem zeros tanto acima quanto abaixo fora da diagonal? Tem zeros em a_{12} e a_{21}. Assim satisfaz as duas definições ao mesmo tempo.
  • Conclusão: A é simultaneamente triangular superior e triangular inferior (ou seja, é trivialmente uma matriz triangular).

Passo 10

Outras propriedades úteis e negações.
  • Permutation matrix: a identidade é a matriz de permutação correspondente à permutação identidade, então é também uma matriz de permutação.
  • Normalidade: A é normal porque A^T A = A A^T (ambos iguais a I_2).
  • Definição (positiva definida): A é definida positiva se x^T A x>0 para todo x\neq0.
  • Verificação:
x^T A x = x^T I_2 x = x^T x = \|x\|^2>0\quad\text{para }x\neq0.
Logo A é definida positiva.
  • Não é matriz nula: a matriz nula tem todas entradas zero; A tem entradas 1 na diagonal, portanto não é nula.
  • Não é uma “matriz linha” nem “matriz coluna” no sentido usual (esses termos designam matrizes com uma única linha ou uma única coluna): A tem duas linhas e duas colunas, não se encaixa nessas categorias.

Resposta

I_2 (matriz identidade de ordem 2)
matriz diagonal
matriz escalar ( 1\cdot I_2)
simétrica
ortogonal
idempotente ( A^2=A)
involutória ( A^2=I_2)
inversível (não singular), \det(A)=1
\operatorname{rank}(A)=2 (posto máximo)
matriz de permutação (perm. identidade)
triangular superior e triangular inferior
normal
definida positiva
(não é matriz nula, nem matriz linha nem matriz coluna)

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