Ou seja: listar quais categorias se aplicam (por exemplo: matriz linha, coluna, nula, identidade, diagonal, etc.). As informações dadas são apenas os elementos da matriz: entrada a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}=1.]
Passo 2
Definição e verificação de “matriz identidade”.
Definição: a matriz identidade de ordem 2 é a matriz I_2 que tem 1 na diagonal principal e 0 fora dela. Ou seja,
Verificação: a matriz dada coincide com I_2. Portanto A=I_2. Consequência prática: para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^2 vale A x = I_2 x = x. Isso é a propriedade definidora da identidade.]
Passo 3
Classe “diagonal” e “matriz escalar”.
Definição (diagonal): uma matriz 2\times2 é diagonal se as entradas fora da diagonal principal são zero, isto é a_{12}=a_{21}=0.
Verificação: na matriz dada a_{12}=0 e a_{21}=0, logo é diagonal.
Definição (matriz escalar): é uma matriz da forma c I_2 com c\in\mathbb{R}.
Verificação: A=1\cdot I_2, logo é uma matriz escalar com c=1.
Passo 4
Classe “simétrica”.
Definição: A é simétrica se A^T=A, onde A^T é a transposta (linhas viram colunas).
Definição: A é ortogonal se A^T A = I_2 (equivalente a colunas ortonormais).
Cálculo:
A^T A = I_2 I_2 = I_2.
Conclusão: A é ortogonal. (No caso do I_2, toda verificação é trivial porque A=I_2.)
Passo 6
Classe “idempotente” e “involutória”.
Definição (idempotente): A é idempotente se A^2=A.
Verificação:
A^2 = I_2^2 = I_2 = A.
Definição (involutória): A é involutória se A^2=I_2. Aqui também A^2=I_2, então A é involutória — neste caso idempotência e involutividade coincidem porque A=I_2.
Passo 7
Classe “inversível” (não singular) e determinante.
Definição: A é inversível se existe A^{-1} tal que A A^{-1}=I_2. Uma condição prática: \det(A)\neq0.
Cálculo do determinante:
\det(A)=1\cdot1-0\cdot0=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é inversível. Além disso A^{-1}=I_2 (a própria matriz).
Passo 8
Classe “posto” (rank) e independência linear.
Definição: o posto \operatorname{rank}(A) é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes.
Observação: as duas colunas de I_2 são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}, que são linearmente independentes.
Conclusão: \operatorname{rank}(A)=2 (posto máximo para matrizes 2\times2).
Passo 9
Classe “triangular” (superior e inferior).
Definição: matriz triangular superior tem zeros abaixo da diagonal; triangular inferior tem zeros acima.
Verificação: A tem zeros tanto acima quanto abaixo fora da diagonal? Tem zeros em a_{12} e a_{21}. Assim satisfaz as duas definições ao mesmo tempo.
Conclusão: A é simultaneamente triangular superior e triangular inferior (ou seja, é trivialmente uma matriz triangular).
Passo 10
Outras propriedades úteis e negações.
Permutation matrix: a identidade é a matriz de permutação correspondente à permutação identidade, então é também uma matriz de permutação.
Normalidade: A é normal porque A^T A = A A^T (ambos iguais a I_2).
Definição (positiva definida): A é definida positiva se x^T A x>0 para todo x\neq0.
Verificação:
x^T A x = x^T I_2 x = x^T x = \|x\|^2>0\quad\text{para }x\neq0.
Logo A é definida positiva.
Não é matriz nula: a matriz nula tem todas entradas zero; A tem entradas 1 na diagonal, portanto não é nula.
Não é uma “matriz linha” nem “matriz coluna” no sentido usual (esses termos designam matrizes com uma única linha ou uma única coluna): A tem duas linhas e duas colunas, não se encaixa nessas categorias.
Resposta
I_2 (matriz identidade de ordem 2)
matriz diagonal
matriz escalar (1\cdot I_2)
simétrica
ortogonal
idempotente (A^2=A)
involutória (A^2=I_2)
inversível (não singular), \det(A)=1 \operatorname{rank}(A)=2 (posto máximo)
matriz de permutação (perm. identidade)
triangular superior e triangular inferior
normal
definida positiva
(não é matriz nula, nem matriz linha nem matriz coluna)