Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 7 & 1 & -2 \end{array}\right]
Determine:
o traço de A;

Passo 1

O enunciado pede explicitamente uma coisa: determinar o traço da matriz A. A matriz dada é
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 7 & 1 & -2 \end{array}\right].
Informações relevantes que o enunciado fornece (peguei estes números diretamente da matriz acima):
  • Os elementos da diagonal principal são os que estão nas posições (1,1), (2,2) e (3,3).
  • Esses elementos, lendo a matriz, são 2, 3 e -2.
    A única pergunta: calcular o traço de A.

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender o que é o traço de uma matriz de forma bem clara e prática.
Definição (explicada devagar): o traço de uma matriz quadrada A de ordem n é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Usamos a notação
\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii},
onde a_{ii} é o elemento da matriz A que está na linha i e coluna i.
Explicando as letras: n é o número de linhas (ou colunas) da matriz (porque é quadrada), i é o índice que percorre cada posição da diagonal, e a_{ii} significa "o elemento na linha i e coluna i".
Propriedades úteis e intuitivas (rápido):
  • O traço só existe para matrizes quadradas.
  • O traço é invariante por troca de base (não precisa agora, só para ter ideia: \operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A)).
  • Para cálculo direto na prova: basta somar os números da diagonal.

Passo 3

Identificar na matriz A os elementos da diagonal principal (peguei estes valores da matriz fornecida):
  • a_{11}=2,
  • a_{22}=3,
  • a_{33}=-2.
Vou repetir devagar: a diagonal principal é a sequência de posições (1,1), (2,2), (3,3). Olhando a matriz, nesses lugares estão os números 2, 3 e -2.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do traço somando esses elementos:
\operatorname{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}.
Substituindo os valores que identificamos:
\operatorname{tr}(A)=2+3+(-2).
Fazendo as somas passo a passo:
2+3=5,
5+(-2)=3.

Resposta

\operatorname{tr}(A)=3

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