Classifique quando a ordem e linearidade:
y\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}+x^{4} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=x

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y\Bigl(\frac{d y}{d x}\Bigr)^{3} \;+\; x^{4}\,\frac{d^{2}y}{d x^{2}} \;=\; x
e pede para classificar a ordem da equação e verificar se ela é linear ou não.

Passo 2

A ordem de uma EDO é dada pelo maior grau de derivada envolvido. Aqui aparece \frac{d^{2}y}{d x^{2}}, que é a derivada de ordem mais alta.
Portanto, a equação é de segunda ordem.

Passo 3

Uma EDO é linear quando y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^{2}y}{dx^{2}}, etc., aparecem apenas em termos lineares (ou seja, sem produtos entre si nem potências não-unitárias). No nosso caso há o termo
y\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{3},
que envolve \frac{dy}{dx} elevado ao cubo e multiplicado por y. Isso torna a equação não-linear.

Resposta

Segunda ordem e não-linear.

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