Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Ricatti, ou Clairaut.
\frac{d y}{d x}=e^{x} y+y^{3}

Passo 1

O enunciado pede a classificação da equação
\frac{dy}{dx} = e^{x}y + y^{3}
entre os tipos: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulli, Riccati ou Clairaut.

Passo 2

Testamos se é separável, ou seja, se podemos escrever algo como g(y)\,dy = f(x)\,dx.
Aqui o lado direito fatora como y(e^{x}+y^{2}), mas não há como isolar uma parte que dependa só de x e outra só de y. Logo, não é separável.

Passo 3

Verificamos se é linear de primeira ordem, que teria a forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Reescrevendo dá
\frac{dy}{dx} - e^{x}y = y^{3},
onde o termo do lado direito depende de y. Portanto não é linear.

Passo 4

Checamos se é homogênea, isto é, se f(x,y)=e^{x}y+y^{3} é uma função homogênea de algum grau n. Como e^{x} não escala como x^{n}, não é homogênea.

Passo 5

Analisamos se é exata escrevendo
-\bigl(e^{x}y+y^{3}\bigr)\,dx + dy = 0.
Aqui M=-e^{x}y-y^{3} e N=1. \partial M/\partial y = -e^{x}-3y^{2} e \partial N/\partial x=0, não coincidem, então não é exata.

Passo 6

Finalmente, conferimos a forma de Bernoulli, que é
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},\quad n\neq 0,1.
Reescrevendo
\frac{dy}{dx} - e^{x}y = y^{3},
vemos P(x)=-e^{x}, Q(x)=1 e n=3. Portanto encaixa-se perfeitamente em uma equação de Bernoulli.

Resposta

Bernoulli

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