Se f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d, determine condições sobre a, b, c, d para que f seja par e para que f seja ímpar.
33. Mostre que a soma de duas funções pares é par e que o produto de duas funções ímpares é par.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d e pede duas coisas:
  • Determinar condições sobre a,b,c,d para que f seja par.
  • Determinar condições sobre a,b,c,d para que f seja ímpar.
    Além disso, pede para mostrar duas propriedades gerais:
  • A soma de duas funções pares é par.
  • O produto de duas funções ímpares é par.
    As informações relevantes são apenas a expressão de f e as definições padrão de função par e ímpar.

Passo 2

Definições (explicação didática e simples).
  • Dizemos que uma função g é par se, para todo x no domínio, vale
g(-x)=g(x).
Intuição: o gráfico é simétrico em relação ao eixo y (espelhamento vertical).
  • Dizemos que uma função h é ímpar se, para todo x no domínio, vale
h(-x)=-h(x).
Intuição: o gráfico tem simetria central em relação à origem (rotaciona 180° e fica igual).
Estas são as propriedades que vamos aplicar à função polinomial dada.

Passo 3

Calcular f(-x) explicitamente (passo técnico que abre a resolução).
f(-x)=a(-x)^{3}+b(-x)^{2}+c(-x)+d.
Agora expandir os potências ímpares e pares:
(-x)^{3} = -x^{3},\qquad (-x)^{2}=x^{2},\qquad (-x)=-x.
Portanto
f(-x)=-a x^{3}+b x^{2}-c x+d.

Passo 4

Condição para f ser par: aplicar a definição f(-x)=f(x).
Igualando a expressão que encontramos para f(-x) com f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d, obtemos a igualdade de dois polinômios:
-a x^{3}+b x^{2}-c x+d = a x^{3}+b x^{2}+c x+d.
Explicação importante: dois polinômios são iguais para todo x se, e somente se, os coeficientes correspondentes de cada potência de x são iguais. Assim, compare coeficiente a coeficiente.

Passo 5

Comparando coeficientes em -a x^{3}+b x^{2}-c x+d = a x^{3}+b x^{2}+c x+d:
  • Coeficiente de x^{3}: -a = a \Rightarrow 2a=0 \Rightarrow a=0.
  • Coeficiente de x^{2}: b = b \Rightarrow sem restrição (qualquer b serve).
  • Coeficiente de x: -c = c \Rightarrow 2c=0 \Rightarrow c=0.
  • Termo constante: d = d \Rightarrow sem restrição (qualquer d serve).
    Conclusão parcial: para f ser par é necessário e suficiente que a=0 e c=0; os coeficientes b e d podem ser quaisquer números reais.

Passo 6

Interpretação e exemplo para fixar a ideia.
  • Com a=0 e c=0, o polinômio fica f(x)=b x^{2}+d, que é claramente par porque depende só de potências pares de x. Exemplo concreto: f(x)=2x^{2}+1 é par pois f(-x)=2(-x)^{2}+1=2x^{2}+1=f(x).

Passo 7

Condição para f ser ímpar: aplicar a definição f(-x)=-f(x).
Já temos f(-x)=-a x^{3}+b x^{2}-c x+d. Calculemos -f(x):
-f(x)=-(a x^{3}+b x^{2}+c x+d)=-a x^{3}-b x^{2}-c x-d.
Agora impomos a igualdade de polinômios
-a x^{3}+b x^{2}-c x+d = -a x^{3}-b x^{2}-c x-d.

Passo 8

Comparando coeficientes em -a x^{3}+b x^{2}-c x+d = -a x^{3}-b x^{2}-c x-d:
  • Coeficiente de x^{3}: -a = -a \Rightarrow sem restrição (qualquer a serve).
  • Coeficiente de x^{2}: b = -b \Rightarrow 2b=0 \Rightarrow b=0.
  • Coeficiente de x: -c = -c \Rightarrow sem restrição (qualquer c serve).
  • Termo constante: d = -d \Rightarrow 2d=0 \Rightarrow d=0.
    Conclusão parcial: para f ser ímpar é necessário e suficiente que b=0 e d=0; os coeficientes a e c podem ser quaisquer números reais.

Passo 9

Interpretação e exemplo para fixar a ideia.
  • Com b=0 e d=0, o polinômio fica f(x)=a x^{3}+c x, que é ímpar porque é soma de termos de potências ímpares. Exemplo concreto: f(x)=x^{3}+2x é ímpar pois f(-x)=(-x)^{3}+2(-x)=-x^{3}-2x=-(x^{3}+2x)=-f(x).

Passo 10

Prova de que a soma de duas funções pares é par (passo por passo, geral e didático).
Sejam g e h duas funções pares, isto é, para todo x vale
g(-x)=g(x)\quad\text{e}\quad h(-x)=h(x).
Considere a soma s(x)=g(x)+h(x). Então
s(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)+h(x)=s(x).
Logo s é par. Explicação: aplicou-se a definição de par a cada função e somou-se as igualdades; isso basta porque igualdade ponto a ponto verifica a definição.

Passo 11

Prova de que o produto de duas funções ímpares é par (passo por passo, geral e didático).
Sejam p e q duas funções ímpares, isto é, para todo x vale
p(-x)=-p(x)\quad\text{e}\quad q(-x)=-q(x).
Considere o produto r(x)=p(x)\cdot q(x). Então
r(-x)=p(-x)\,q(-x)=\bigl(-p(x)\bigr)\bigl(-q(x)\bigr)=p(x)q(x)=r(x).
Portanto r é par. Explicação: o produto de dois sinais negativos dá positivo, por isso a simetria ímpar×ímpar resulta em simetria par.

Resposta

Para f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d ser par: a=0 e c=0 (ou seja, f(x)=b x^{2}+d com b,d quaisquer).
Para f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d ser ímpar: b=0 e d=0 (ou seja, f(x)=a x^{3}+c x com a,c quaisquer).
A soma de duas funções pares é par.
O produto de duas funções ímpares é par.

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