Se
, determine condições sobre
para que
seja par e para que
seja ímpar.
33. Mostre que a soma de duas funções pares é par e que o produto de duas funções ímpares é par.
33. Mostre que a soma de duas funções pares é par e que o produto de duas funções ímpares é par.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede duas coisas:
- Determinar condições sobre
para que seja par. - Determinar condições sobre
para que seja ímpar.
Além disso, pede para mostrar duas propriedades gerais: - A soma de duas funções pares é par.
- O produto de duas funções ímpares é par.
As informações relevantes são apenas a expressão dee as definições padrão de função par e ímpar.
Passo 2
Definições (explicação didática e simples).
- Dizemos que uma função
é par se, para todo no domínio, vale
Intuição: o gráfico é simétrico em relação ao eixo
(espelhamento vertical).
- Dizemos que uma função
é ímpar se, para todo no domínio, vale
Intuição: o gráfico tem simetria central em relação à origem (rotaciona 180° e fica igual).
Estas são as propriedades que vamos aplicar à função polinomial dada.
Estas são as propriedades que vamos aplicar à função polinomial dada.
Passo 3
Calcular
explicitamente (passo técnico que abre a resolução).
Agora expandir os potências ímpares e pares:
Portanto
Passo 4
Condição para
ser par: aplicar a definição
.
Igualando a expressão que encontramos para com
, obtemos a igualdade de dois polinômios:
Igualando a expressão que encontramos para
Explicação importante: dois polinômios são iguais para todo
se, e somente se, os coeficientes correspondentes de cada potência de
são iguais. Assim, compare coeficiente a coeficiente.
Passo 5
Comparando coeficientes em
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: sem restrição (qualquer serve). - Coeficiente de
: . - Termo constante:
sem restrição (qualquer serve).
Conclusão parcial: paraser par é necessário e suficiente que e ; os coeficientes e podem ser quaisquer números reais.
Passo 6
Interpretação e exemplo para fixar a ideia.
- Com
e , o polinômio fica , que é claramente par porque depende só de potências pares de . Exemplo concreto: é par pois .
Passo 7
Condição para
ser ímpar: aplicar a definição
.
Já temos . Calculemos
:
Já temos
Agora impomos a igualdade de polinômios
Passo 8
Comparando coeficientes em
:
- Coeficiente de
: sem restrição (qualquer serve). - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: sem restrição (qualquer serve). - Termo constante:
.
Conclusão parcial: paraser ímpar é necessário e suficiente que e ; os coeficientes e podem ser quaisquer números reais.
Passo 9
Interpretação e exemplo para fixar a ideia.
- Com
e , o polinômio fica , que é ímpar porque é soma de termos de potências ímpares. Exemplo concreto: é ímpar pois .
Passo 10
Prova de que a soma de duas funções pares é par (passo por passo, geral e didático).
Sejam e
duas funções pares, isto é, para todo
vale
Sejam
Considere a soma
. Então
Logo
é par. Explicação: aplicou-se a definição de par a cada função e somou-se as igualdades; isso basta porque igualdade ponto a ponto verifica a definição.
Passo 11
Prova de que o produto de duas funções ímpares é par (passo por passo, geral e didático).
Sejam e
duas funções ímpares, isto é, para todo
vale
Sejam
Considere o produto
. Então
Portanto
é par. Explicação: o produto de dois sinais negativos dá positivo, por isso a simetria ímpar×ímpar resulta em simetria par.
Resposta
Para
ser par:
e
(ou seja,
com
quaisquer).
Para ser ímpar:
e
(ou seja,
com
quaisquer).
A soma de duas funções pares é par.
O produto de duas funções ímpares é par.
Para
A soma de duas funções pares é par.
O produto de duas funções ímpares é par.