Classifique os pontos críticos e determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:[-2,2] \times[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=-x+x^{2}+x y^{2}
\begin{gathered} \nabla f(x, y)=\left(-1+2 x+y^{2}, 2 x y\right) \\\ \text { Hess } f(x, y)=\left[\begin{array}{cc} 2 & 2 y \\\\ 2 y & 2 x \end{array}\right] \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos de
f(x,y) = -x + x^2 + x y^2
no retângulo fechado [-2,2]\times[-2,2], e ainda determinar os valores máximos e mínimos absolutos de f nesse domínio. Vamos usar (i) o sistema \nabla f=0 para achar pontos estacionários, (ii) o Hessiano para classificá-los, e (iii) analisar o contorno x=\pm 2 ou y=\pm 2 para encontrar os extremos globais.

Passo 2

Resolvendo \nabla f(x,y) = (-1 + 2x + y^2,\;2xy) = (0,0):
1. 2xy=0 dá ou x=0 ou y=0.
2. Se x=0, então -1 + 2\cdot0 + y^2 = 0 implica y^2=1, ou seja (0,1) e (0,-1).
3. Se y=0, então -1 + 2x + 0 = 0 implica x=\tfrac12, ou seja (\tfrac12,0).
Logo, há três pontos críticos interiores:
(0,1),\quad(0,-1),\quad\Bigl(\tfrac12,0\Bigr).

Passo 3

Usamos o Hessiano
\mathrm{Hess}\,f(x,y) =\begin{pmatrix}2 & 2y\\[6pt]2y & 2x\end{pmatrix}
para classificar:
1. Em (0,1):
\mathrm{Hess} = \begin{pmatrix}2&2\\\ 2&0\end{pmatrix}, deter-minante 2\cdot0 - 2\cdot2 = -4<0. Isso indica ponto de selas.
2. Em (0,-1):
\mathrm{Hess} = \begin{pmatrix}2&-2\\\ -2&0\end{pmatrix}, deter-minante 2\cdot0 -(-2)\cdot(-2) = -4<0. Também sela.
3. Em \left(\tfrac{1}{2},0\right):
\mathrm{Hess} = \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, deter-minante 2\cdot1=2>0 e traço positivo, logo mínimo local.
O valor aí é
f\Bigl(\tfrac{1}{2},0\Bigr) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + 0 = -\tfrac{1}{4}.
]

Passo 4

Agora analisamos o contorno, dividindo em quatro arestas:
A) x=2,\;y\in[-2,2].
f(2,y) = -2 + 4 + 2y^2 = 2 + 2y^2
varia de 2 (em y=0) até 10 (em y=\pm2).
B) x=-2,\;y\in[-2,2].
f(-2,y) = 2 + 4 - 2y^2 = 6 - 2y^2
varia de -2 (em y=\pm2) até 6 (em y=0).
C) y=2,\;x\in[-2,2].
f(x,2) = -x + x^2 + 4x = x^2 + 3x.
Trata-se de uma parábola com vértice em x=-\tfrac{3}{2}, cujo valor é
(-\tfrac32)^2 + 3\cdot(-\tfrac32) = 2{,}25 - 4{,}5 = -2{,}25.
Nos extremos x=-2 -2 e x=2 10.
D) y=-2 dá exatamente a mesma parábola x^2+3x e, portanto, os mesmos valores mínimos e máximos.

Passo 5

Reunindo todos os candidatos:
  • Pontos críticos interiores:
    \bullet (0,\pm1) sella, f=0.
    \bullet (\tfrac12,0) mínimo local, f=-\tfrac14.
  • Arestas:
    \bullet Maior valor f=10 em (2,2) e (2,-2).
    \bullet Menor valor f=-2{,}25 em \bigl(-\tfrac32,2\bigr) e \bigl(-\tfrac32,-2\bigr).
    Logo, os extremos absolutos no domínio são esses da aresta.

Resposta

Pontos críticos interiores e classificação:
(0,1) e (0,-1): sela;
(\tfrac12,0): mínimo local com valor f=-\tfrac14.
Extremos absolutos em [-2,2]\times[-2,2]:
Mínimos globais f=-2{,}25 em \bigl(-\tfrac32,2\bigr) e \bigl(-\tfrac32,-2\bigr).
Máximos globais f=10 em (2,2) e (2,-2).

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