Classifique os pontos críticos e determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas : f:[-2,2] \times[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=-x+x^{2}+x y^{2}
\begin{gathered} \nabla f(x, y)=\left(-1+2 x+y^{2}, 2 x y\right) \\\ \text { Hess } f(x, y)=\left[\begin{array}{cc} 2 & 2 y \\\\ 2 y & 2 x \end{array}\right] \end{gathered}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar todos os pontos críticos de
f(x,y) = -x + x^2 + x y^2
no retângulo fechado [-2,2]\times[-2,2], e ainda determinar os valores máximos e mínimos absolutos de f nesse domínio. Vamos usar (i) o sistema \nabla f=0 para achar pontos estacionários, (ii) o Hessiano para classificá-los, e (iii) analisar o contorno x=\pm 2 ou y=\pm 2 para encontrar os extremos globais.
Passo 2
Resolvendo \nabla f(x,y) = (-1 + 2x + y^2,\;2xy) = (0,0): 1. 2xy=0 dá ou x=0 ou y=0. 2. Se x=0, então -1 + 2\cdot0 + y^2 = 0 implica y^2=1, ou seja (0,1) e (0,-1). 3. Se y=0, então -1 + 2x + 0 = 0 implica x=\tfrac12, ou seja (\tfrac12,0).
Logo, há três pontos críticos interiores:
para classificar: 1. Em (0,1): \mathrm{Hess} = \begin{pmatrix}2&2\\\ 2&0\end{pmatrix}, deter-minante 2\cdot0 - 2\cdot2 = -4<0. Isso indica ponto de selas. 2. Em (0,-1): \mathrm{Hess} = \begin{pmatrix}2&-2\\\ -2&0\end{pmatrix}, deter-minante 2\cdot0 -(-2)\cdot(-2) = -4<0. Também sela. 3. Em \left(\tfrac{1}{2},0\right): \mathrm{Hess} = \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, deter-minante 2\cdot1=2>0 e traço positivo, logo mínimo local.
O valor aí é
Arestas: \bullet Maior valor f=10 em (2,2) e (2,-2). \bullet Menor valor f=-2{,}25 em \bigl(-\tfrac32,2\bigr) e \bigl(-\tfrac32,-2\bigr).
Logo, os extremos absolutos no domínio são esses da aresta.
Resposta
Pontos críticos interiores e classificação: (0,1) e (0,-1): sela; (\tfrac12,0): mínimo local com valor f=-\tfrac14.
Extremos absolutos em [-2,2]\times[-2,2]:
Mínimos globais f=-2{,}25 em \bigl(-\tfrac32,2\bigr) e \bigl(-\tfrac32,-2\bigr).
Máximos globais f=10 em (2,2) e (2,-2).