Classifique os pontos críticos e determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:[-1,1] \times[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=\ln (x y+2)
\begin{gathered} \nabla f(x, y)=\left(\frac{y}{x y+2}, \frac{x}{x y+2}\right) \\\ \operatorname{Hess} f(x, y)=\left[\begin{array}{cc} -\frac{y^{2}}{(x y+2)^{2}} & \frac{1}{x y+2}-\frac{x y}{(x y+2)^{2}} \\\ \frac{1}{x y+2}-\frac{x y}{(x y+2)^{2}} & -\frac{x^{2}}{(x y+2)^{2}} \end{array}\right] \end{gathered}

Passo 1

O enunciado trata da função
f\colon[-1,1]\times[-1,1]\to\mathbb{R},\quad f(x,y)=\ln(xy+2),
e pede (i) os pontos críticos e sua classificação via Hessiana e (ii) os valores e os pontos de máximo e mínimo globais. Vamos usar derivadas parciais, matriz Hessiana e o fato de que o domínio é compacto para examinar o contorno.

Passo 2

Calculamos o gradiente
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{y}{xy+2},\,\frac{x}{xy+2}\Bigr)
e igualamos a zero:
\frac{y}{xy+2}=0\implies y=0, \quad \frac{x}{xy+2}=0\implies x=0.
Logo o único ponto crítico no interior é (0,0).

Passo 3

Para classificar (0,0) avaliamos a Hessiana em (0,0). Como xy+2=2,
\mathrm{Hess}\,f(0,0) =\begin{pmatrix} -\dfrac{0^2}{2^2} & \dfrac{1}{2}-\dfrac{0}{2^2}\\[8pt] \dfrac{1}{2}-\dfrac{0}{2^2} & -\dfrac{0^2}{2^2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & \tfrac12\\[4pt]\tfrac12 & 0\end{pmatrix}.
Seus autovalores satisfazem
\lambda^2-\tfrac14=0\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm\tfrac12,
sendo de sinais opostos. Portanto (0,0) é ponto de sela.]

Passo 4

Para os extremos globais, note que f(x,y)=\ln(xy+2) é crescente em t=xy. No quadrado [-1,1]^2, o produto xy varia entre -1 e 1. Assim o mínimo de f ocorre onde xy=-1 e o máximo onde xy=1.

Passo 5

Identificamos os vértices que produzem esses valores:
xy=1 em (1,1) e (-1,-1), dando
f(1,1)=f(-1,-1)=\ln(1\cdot1+2)=\ln(3).
xy=-1 em (1,-1) e (-1,1), dando
f(1,-1)=f(-1,1)=\ln(-1+2)=\ln(1)=0.

Resposta

Ponto crítico interno: (0,0), ponto de sela.
Máximos globais:
(1,1)\text{ e }(-1,-1),\quad f=\ln(3).
Mínimos globais:
(1,-1)\text{ e }(-1,1),\quad f=0.

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