Classifique os pontos críticos e determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas : f:[-1,1] \times[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=\ln (x y+2)
e pede (i) os pontos críticos e sua classificação via Hessiana e (ii) os valores e os pontos de máximo e mínimo globais. Vamos usar derivadas parciais, matriz Hessiana e o fato de que o domínio é compacto para examinar o contorno.
sendo de sinais opostos. Portanto (0,0) é ponto de sela.]
Passo 4
Para os extremos globais, note que f(x,y)=\ln(xy+2) é crescente em t=xy. No quadrado [-1,1]^2, o produto xy varia entre -1 e 1. Assim o mínimo de f ocorre onde xy=-1 e o máximo onde xy=1.
Passo 5
Identificamos os vértices que produzem esses valores:
– xy=1 em (1,1) e (-1,-1), dando
f(1,1)=f(-1,-1)=\ln(1\cdot1+2)=\ln(3).
– xy=-1 em (1,-1) e (-1,1), dando
f(1,-1)=f(-1,1)=\ln(-1+2)=\ln(1)=0.
Resposta
Ponto crítico interno: (0,0), ponto de sela.
Máximos globais: