Classifique os pontos críticos e determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:[0,1] \times[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=3 x-2 y+6
\begin{gathered} \nabla f(x, y)=(3,-2) \\\ \text { Hess } f(x, y)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para classificar os pontos críticos de
f(x,y)=3x-2y+6
no domínio compacto [0,1]\times[0,1] e determinar os pontos e valores de máximo e mínimo. O conteúdo envolve cálculo de gradiente, condição de pontos críticos e busca de extremos em fronteira de domínio compacto.

Passo 2

Calculamos os pontos críticos resolvendo
\nabla f(x,y)=(3,\,-2)=(0,0).
Como 3\neq0 e -2\neq0, não existe (x,y) tal que \nabla f(x,y)=0. Portanto, não há pontos críticos no interior de [0,1]\times[0,1].

Passo 3

Como f é afim (Hessiano nulo) e o domínio é compacto, os extremos globais ocorrem na fronteira. Em funções lineares, basta avaliar os vértices do retângulo.

Passo 4

Avaliação nos quatro vértices:
f(0,0)=3\cdot0 -2\cdot0 +6 =6,
f(1,0)=3\cdot1 -2\cdot0 +6 =9,
f(0,1)=3\cdot0 -2\cdot1 +6 =4,
f(1,1)=3\cdot1 -2\cdot1 +6 =7.

Passo 5

Comparando os valores:
o maior é 9 em (1,0) e o menor é 4 em (0,1).

Resposta

Ocorrem sem pontos críticos no interior.
Valor máximo global: f(1,0)=9.
Valor mínimo global: f(0,1)=4.

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