Classifique os pontos críticos e determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas : f:[-1,2] \times[-2,3] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=e^{x^{2}-x y}
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=e^{x^{2}-xy}
no retângulo compacto [-1,2]\times[-2,3], usando \nabla f e a Hessiana, e depois determinar os valores absolutos de máximo e mínimo de f nesse domínio.
Passo 2
Para achar os pontos críticos internos, igualamos \nabla f(x,y)=(0,0). Como
cujo determinante é 2\cdot0-(-1)^{2}=-1<0. Portanto (0,0) é ponto de sela.
Passo 4
Como o domínio é compacto, o máximo e o mínimo absolutos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira. Só há um crítico interno (já classificado como sela), então examinamos cada aresta:
x=-1, y\in[-2,3]:f(-1,y)=e^{1+y},\quad \text{mín em }y=-2\to e^{-1},\quad \text{máx em }y=3\to e^{4}.íá
x=2, y\in[-2,3]:f(2,y)=e^{4-2y},\quad \text{máx em }y=-2\to e^{8},\quad \text{mín em }y=3\to e^{-2}.áí
y=-2, x\in[-1,2]:f(x,-2)=e^{x^{2}+2x},\quad \text{derivada }2x+2=0\Rightarrow x=-1,logo mínimo em (-1,-2)\to e^{-1} e máximo em (2,-2)\to e^{8}.
y=3, x\in[-1,2]:f(x,3)=e^{x^{2}-3x},\quad \text{derivada }2x-3=0\Rightarrow x=\tfrac32,logo mínimo em \bigl(\tfrac32,3\bigr)\to e^{-9/4} e máximo em (-1,3)\to e^{4}.
Passo 5
Reunindo os candidatos: (0,0) (sela) com f=1;
mínimos na fronteira: (-1,-2) com f=e^{-1}, (2,3) com f=e^{-2}, \bigl(\tfrac32,3\bigr) com f=e^{-9/4};
máximos na fronteira: (-1,3) com f=e^{4}, (2,-2) com f=e^{8}.
Passo 6
Comparando valores:
e^{-9/4}<e^{-2}<e^{-1}<1<e^{4}<e^{8}.
Logo o valor mínimo absoluto é e^{-9/4} em \bigl(\tfrac32,3\bigr) e o máximo absoluto é e^{8} em (2,-2).
Resposta
Ponto crítico interno: (0,0), ponto de sela.
Máximo global: f(2,-2)=e^{8}.
Mínimo global: f\bigl(\tfrac32,3\bigr)=e^{-9/4}.