Classifique os pontos críticos e determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:[-1,2] \times[-2,3] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=e^{x^{2}-x y}
\begin{gathered} \nabla f(x, y)=\left(e^{x^{2}-x y}(2 x-y),-e^{x^{2}-x y} x\right) \\\ \operatorname{Hess} f(x, y)=\left[\begin{array}{cc} e^{x^{2}-x y}(2 x-y)^{2}+2 e^{x^{2}-x y} & -e^{x^{2}-x y} x(2 x-y)-e^{x^{2}-x y} \\\\ -e^{x^{2}-x y} x(2 x-y)-e^{x^{2}-x y} & e^{x^{2}-x y} x^{2} \end{array}\right] \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=e^{x^{2}-xy}
no retângulo compacto [-1,2]\times[-2,3], usando \nabla f e a Hessiana, e depois determinar os valores absolutos de máximo e mínimo de f nesse domínio.

Passo 2

Para achar os pontos críticos internos, igualamos \nabla f(x,y)=(0,0). Como
\nabla f(x,y)=\bigl(e^{x^{2}-xy}(2x-y),\,-e^{x^{2}-xy}x\bigr),
e e^{x^{2}-xy}>0, temos o sistema
2x-y=0, \quad x=0.
Da segunda equação segue x=0 e então y=2x=0. Logo, o único ponto crítico interno é (0,0).

Passo 3

Classificamos (0,0) usando a Hessiana
\mathrm{Hess}\,f(x,y) =\begin{pmatrix} e^{x^{2}-xy}(2x-y)^{2}+2e^{x^{2}-xy} & -e^{x^{2}-xy}x(2x-y)-e^{x^{2}-xy}\\\\ -\,e^{x^{2}-xy}x(2x-y)-e^{x^{2}-xy} & e^{x^{2}-xy}x^{2} \end{pmatrix}.
Em (0,0) temos
\mathrm{Hess}\,f(0,0) =\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 0\end{pmatrix},
cujo determinante é 2\cdot0-(-1)^{2}=-1<0. Portanto (0,0) é ponto de sela.

Passo 4

Como o domínio é compacto, o máximo e o mínimo absolutos ocorrem em pontos críticos internos ou na fronteira. Só há um crítico interno (já classificado como sela), então examinamos cada aresta:
  1. x=-1, y\in[-2,3]: f(-1,y)=e^{1+y},\quad \text{mín em }y=-2\to e^{-1},\quad \text{máx em }y=3\to e^{4}.íá
  2. x=2, y\in[-2,3]: f(2,y)=e^{4-2y},\quad \text{máx em }y=-2\to e^{8},\quad \text{mín em }y=3\to e^{-2}.áí
  3. y=-2, x\in[-1,2]: f(x,-2)=e^{x^{2}+2x},\quad \text{derivada }2x+2=0\Rightarrow x=-1,logo mínimo em (-1,-2)\to e^{-1} e máximo em (2,-2)\to e^{8}.
  4. y=3, x\in[-1,2]: f(x,3)=e^{x^{2}-3x},\quad \text{derivada }2x-3=0\Rightarrow x=\tfrac32,logo mínimo em \bigl(\tfrac32,3\bigr)\to e^{-9/4} e máximo em (-1,3)\to e^{4}.

Passo 5

Reunindo os candidatos:
(0,0) (sela) com f=1;
mínimos na fronteira:
(-1,-2) com f=e^{-1},
(2,3) com f=e^{-2},
\bigl(\tfrac32,3\bigr) com f=e^{-9/4};
máximos na fronteira:
(-1,3) com f=e^{4},
(2,-2) com f=e^{8}.

Passo 6

Comparando valores:
e^{-9/4}<e^{-2}<e^{-1}<1<e^{4}<e^{8}.
Logo o valor mínimo absoluto é e^{-9/4} em \bigl(\tfrac32,3\bigr) e o máximo absoluto é e^{8} em (2,-2).

Resposta

Ponto crítico interno: (0,0), ponto de sela.
Máximo global: f(2,-2)=e^{8}.
Mínimo global: f\bigl(\tfrac32,3\bigr)=e^{-9/4}.

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