(1.0 pontos) Resolva:
\left\{\begin{array}{c} \left(1+x^{2}\right) d y-x y d x=0 \\\ y(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(1+x^{2})\,dy - x\,y\,dx = 0
com condição inicial y(0)=-1. Trata-se de uma equação de variáveis separáveis, ou seja, podemos colocar todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro.

Passo 2

Reescrevemos a equação para separar as variáveis. Começamos isolando dy e dx:
(1+x^{2})\,dy = x\,y\,dx.
Agora dividimos ambos os lados por y(1+x^{2}):
\frac{dy}{y} = \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado esquerdo, usamos \int \frac{dy}{y} = \ln|y|. No lado direito, reconhecemos que \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \tfrac12\ln(1+x^{2}). Logo,
\int \frac{dy}{y} = \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = \tfrac12\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados, obtemos
|y| = e^{C}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)^{1/2}.
Chamando C' = \pm e^{C}, temos
y = C'\,\sqrt{1+x^{2}}.
Para determinar C', usamos a condição inicial y(0)=-1:
-1 = C'\,\sqrt{1+0^{2}} \quad\Longrightarrow\quad C' = -1.

Resposta

A solução do problema com y(0)=-1 é
y(x) = -\sqrt{1+x^{2}}.

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