(2.5 pontos) Marque a solução geral para a equação:
\left(1+x^{2}\right) d y-x y d x=0, \quad y=y(x)
( ) y^{2}=e^{x^{2}}+C
( ) y^{2}=1+C x^{2}
( ) y^{2}=C\left(1+x^{2}\right)
( ) y^{2}=x^{2}+C
( ) n.r.a.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
(1+x^{2})\,dy \;-\; x\,y\,dx = 0,
onde y=y(x). O conteúdo aqui é equação diferencial separável, pois podemos isolar os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
(1+x^{2})\,dy = x\,y\,dx.
Dividindo ambos os lados por y e por 1+x^{2}, obtemos a forma separável:
\frac{dy}{y} = \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
À esquerda vem \ln|y|. À direita, fazemos a substituição u = 1+x^{2}, du = 2x\,dx, o que leva a
\ln|y| = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Exponenciando, temos
|y| = e^{C_{1}}\,(1+x^{2})^{1/2}.
Definindo C = e^{2C_{1}}>0, elevamos ao quadrado para eliminar o valor absoluto:
y^{2} = C\,(1+x^{2}),
que é a forma geral da solução.

Resposta

y^{2} = C\,(1+x^{2})

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