Classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=e^2 x^2+y^2

Passo 1

Vamos considerar a classificação de pontos críticos da função f(x,y)=e^2x^2+y^2. O conteúdo principal aqui é cálculo de pontos críticos via gradiente e Hessiana para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, precisamos calcular o gradiente nabla f=(fx,fy). Usando derivadas parciais:
fx=partialpartial xl(e^2x^2+y^2r)=e^2x^2+y^2cdot4x, fy=partialpartial yl(e^2x^2+y^2r)=e^2x^2+y^2cdot2y

Passo 3

Igualando nabla f=0, como e^2x^2+y^2>0 sempre, obtemos
4x=0Rightarrow x=0, 2y=0Rightarrow y=0

Passo 4

Logo há um único ponto crítico: (0,0).

Passo 5

Para classificar, montamos a matriz Hessiana Hf:
Hf(x,y)= fxx&fxy fxy&fyy

Passo 6

Calculando as derivadas de segunda ordem:
fxx=e^2x^2+y^2(4+16x^2), fyy=e^2x^2+y^2(2+4y^2), fxy=8xye^2x^2+y^2

Passo 7

Em (0,0), temos
Hf(0,0)=4&00&2, que é definida positiva (autovalores 4>0 e 2>0). Assim (0,0) é ponto de mínimo local estrito.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), e ele é um mínimo local estrito (global).

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