Verifique se a função é diferenciável:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é diferenciável. Vou entender isso como: verificar a diferenciabilidade em um ponto arbitrário
e, portanto, em quais pontos do plano
a função é diferenciável. Também vou indicar qual é o diferencial/gradiente (porque normalmente é útil na prova).
Informações dadas:
- A expressão de
é . - Não há restrição de domínio escrita, logo o domínio natural é
.
O que se pede:
- Determinar se
é diferenciável (em geral: em todo ou em quais pontos). - (Indiretamente) obter o diferencial / gradiente, que costuma ser parte da verificação prática.
Passo 2
Lembrete (definição e critério que vamos usar).
- Definição (intuição precisa):
é diferenciável em se existe uma aplicação linear tal que
Quando as derivadas parciais existem, o candidato natural para
é
- Teorema prático (muito usado em provas): se as derivadas parciais
e existem numa vizinhança de e são contínuas em , então é diferenciável em . Esse é o critério que facilita bastante.
Vou aplicar esse critério (mais simples) e depois, para treinar, faço também uma verificação direta do resto para fixar a ideia.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (mostrando passo a passo como fazer na prova).
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar . Como é constante quando derivamos em ,
Explicação curta: derivada de
é
, então sobra
.
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar . Aqui é constante multiplicando , e a derivada de é , logo
Explicação curta: regra do produto simplificada porque
é constante.
Passo 4
Verificar continuidade das derivadas parciais (critério do passo 2).
-
. A função é contínua em todo , portanto esta derivada parcial é contínua em todo (independe de , mas é contínua como função de ). -
. Essa é a produto das funções (projeção no primeiro coordenada) e ; ambas são contínuas, logo o produto é contínuo em todo .
Como as duas derivadas parciais existem e são contínuas em cada ponto de
, pelo teorema prático do Passo 2, segue-se que
é diferenciável em todo ponto
.
Passo 5
Escrever explicitamente o diferencial e o gradiente — isso é muito útil na prova, basta obter as derivadas parciais e montar a forma linear.
- O diferencial em
aplicado ao incremento é
- O gradiente é
Na prova, escrever isso mostra que se sabe tanto que a função é diferenciável quanto qual é a aproximação linear.
Passo 6
(Verificação direta do resto — alternativa prática para a prova, caso o enunciado peça mostrar a definição)
- Começo da conta: para
,
- Factorizando
e usando com quando (isto é, ):
(ou seja, os termos que sobraram são esses três).
- Agora faço a estimativa para mostrar que
. Notando que porque , e que mas e , fica claro que os termos com vão a zero quando . Para o termo usa-se a desigualdade
portanto
Juntando tudo, concluímos que
o que confirma diretamente a diferenciabilidade segundo a definição.]
Resposta
A função
é diferenciável em todo
.
O diferencial em é
.
O diferencial em