Regra da cadeia com funções trigonométricas:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes funções (peguei tudo do enunciado):
O que se pede (o objetivo da questão) é calcular as derivadas de
em relação a
e a
; ou seja, encontrar
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicação didática da regra da cadeia para funções com duas variáveis):
Quando depende de
e
, e
e
dependem de
e
, as derivadas de
em relação a
e
são dadas pela regra da cadeia (para funções de várias variáveis):
Quando
O que isto significa na prática: primeiro calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e a
, depois as derivadas de
e
em relação a
e
, e por fim substituímos tudo nas fórmulas acima e simplificamos. Vou mostrar cada passo bem devagar.
Passo 3
Calcular as parciais
e
. Tratamos
como constante quando diferimos em relação a
, e tratamos
como constante quando diferimos em relação a
.
Derivando
em relação a
:
- Aplique a regra da potência: a derivada de
em relação a é . - Para
, é constante, então é como derivar ; a derivada é .
Portanto
Agora derivando em relação a
(tratando
como constante):
- O termo
não depende de , então sua derivada é . - O termo
visto como função linear em tem derivada .
Portanto
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
em relação a
e
. Aqui entram derivadas de funções trigonométricas e aplicação simples da regra do produto quando necessário — vou explicar cada uma.
Temos
.
- Derivando em relação a
(com constante), é constante, então
- Derivando em relação a
(com constante), é produto com constante, e ; portanto
Temos
.
- Derivando em relação a
(com constante), aqui é constante e , então
- Derivando em relação a
(com constante), é constante, então
Resumo das derivadas auxiliares:
Passo 5
Substituir as parciais calculadas nas fórmulas da regra da cadeia para obter
.
Primeiro, escrevemos a fórmula:
Agora substituímos
,
,
e
:
Para deixar a resposta em termos de
e
(substituir
e
), lembramos que
e
. Substituindo:
Então
Multiplicando os fatores:
Passo 6
Agora calcular
usando a regra da cadeia:
Substituindo
,
,
e
:
Substituindo
e
como antes, com
e
, obtemos
Multiplicando os termos:
Passo 7
Pequena verificação de consistência (mental): as dimensões das grandezas batem (todas as parcelas são produtos de potências de
, funções trigonométricas e, quando aparece,
). A forma final está em termos de
e
, pronta para avaliação numérica se necessário.