Regra da cadeia com funções trigonométricas:
\mathrm{z}=4 \mathrm{x}^{3}-3 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}, \mathrm{x}=\mathrm{ucosv}, \mathrm{y}=\mathrm{vsenu}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções (peguei tudo do enunciado):
z = 4x^{3} - 3x^{2}y,\qquad x = u\cos v,\qquad y = v\sin u.
O que se pede (o objetivo da questão) é calcular as derivadas de z em relação a u e a v; ou seja, encontrar
\frac{\partial z}{\partial u}\quad\text{e}\quad\frac{\partial z}{\partial v}.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática da regra da cadeia para funções com duas variáveis):
Quando z depende de x e y, e x e y dependem de u e v, as derivadas de z em relação a u e v são dadas pela regra da cadeia (para funções de várias variáveis):
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
O que isto significa na prática: primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y, depois as derivadas de x e y em relação a u e v, e por fim substituímos tudo nas fórmulas acima e simplificamos. Vou mostrar cada passo bem devagar.

Passo 3

Calcular as parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}. Tratamos y como constante quando diferimos em relação a x, e tratamos x como constante quando diferimos em relação a y.
Derivando z=4x^{3}-3x^{2}y em relação a x:
  • Aplique a regra da potência: a derivada de 4x^{3} em relação a x é 4\cdot 3x^{2}=12x^{2}.
  • Para -3x^{2}y, y é constante, então é como derivar -3y\cdot x^{2}; a derivada é -3y\cdot 2x = -6xy.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=12x^{2}-6xy.
Agora derivando em relação a y (tratando x como constante):
  • O termo 4x^{3} não depende de y, então sua derivada é 0.
  • O termo -3x^{2}y visto como função linear em y tem derivada -3x^{2}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=-3x^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas de x e y em relação a u e v. Aqui entram derivadas de funções trigonométricas e aplicação simples da regra do produto quando necessário — vou explicar cada uma.
Temos x=u\cos v.
  • Derivando em relação a u (com v constante), \cos v é constante, então
\frac{\partial x}{\partial u}=\cos v.
  • Derivando em relação a v (com u constante), é produto u\cdot\cos v com u constante, e \dfrac{d}{dv}\cos v = -\sin v; portanto
\frac{\partial x}{\partial v}=-u\sin v.
Temos y=v\sin u.
  • Derivando em relação a u (com v constante), aqui v é constante e \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u, então
\frac{\partial y}{\partial u}=v\cos u.
  • Derivando em relação a v (com u constante), \sin u é constante, então
\frac{\partial y}{\partial v}=\sin u.
Resumo das derivadas auxiliares:
\frac{\partial x}{\partial u}=\cos v,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=-u\sin v,\quad \frac{\partial y}{\partial u}=v\cos u,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=\sin u.

Passo 5

Substituir as parciais calculadas nas fórmulas da regra da cadeia para obter \dfrac{\partial z}{\partial u}.
Primeiro, escrevemos a fórmula:
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}.
Agora substituímos \dfrac{\partial z}{\partial x}=12x^{2}-6xy, \dfrac{\partial z}{\partial y}=-3x^{2}, \dfrac{\partial x}{\partial u}=\cos v e \dfrac{\partial y}{\partial u}=v\cos u:
\frac{\partial z}{\partial u}=\bigl(12x^{2}-6xy\bigr)\cos v+(-3x^{2})\bigl(v\cos u\bigr).
Para deixar a resposta em termos de u e v (substituir x e y), lembramos que x=u\cos v e y=v\sin u. Substituindo:
x^{2}=(u\cos v)^{2}=u^{2}\cos^{2}v, \qquad xy=(u\cos v)(v\sin u)=uv\cos v\sin u.
Então
\frac{\partial z}{\partial u}=\bigl(12u^{2}\cos^{2}v-6uv\cos v\sin u\bigr)\cos v-3u^{2}\cos^{2}v\;(v\cos u).
Multiplicando os fatores:
\frac{\partial z}{\partial u}=12u^{2}\cos^{3}v-6uv\cos^{2}v\sin u-3u^{2}v\cos^{2}v\cos u.

Passo 6

Agora calcular \dfrac{\partial z}{\partial v} usando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}=12x^{2}-6xy, \dfrac{\partial x}{\partial v}=-u\sin v, \dfrac{\partial z}{\partial y}=-3x^{2} e \dfrac{\partial y}{\partial v}=\sin u:
\frac{\partial z}{\partial v}=\bigl(12x^{2}-6xy\bigr)(-u\sin v)+(-3x^{2})(\sin u).
Substituindo x=u\cos v e y=v\sin u como antes, com x^{2}=u^{2}\cos^{2}v e xy=uv\cos v\sin u, obtemos
\frac{\partial z}{\partial v}=-\bigl(12u^{2}\cos^{2}v-6uv\cos v\sin u\bigr)u\sin v-3u^{2}\cos^{2}v\sin u.
Multiplicando os termos:
\frac{\partial z}{\partial v}=-12u^{3}\cos^{2}v\sin v+6u^{2}v\cos v\sin u\sin v-3u^{2}\cos^{2}v\sin u.

Passo 7

Pequena verificação de consistência (mental): as dimensões das grandezas batem (todas as parcelas são produtos de potências de u, funções trigonométricas e, quando aparece, v). A forma final está em termos de u e v, pronta para avaliação numérica se necessário.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial u}=12u^{2}\cos^{3}v-6uv\cos^{2}v\sin u-3u^{2}v\cos^{2}v\cos u
\dfrac{\partial z}{\partial v}=-12u^{3}\cos^{2}v\sin v+6u^{2}v\cos v\sin u\sin v-3u^{2}\cos^{2}v\sin u

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