Classifique os pontos críticos de:
Passo 1
O enunciado pede para classificar os pontos críticos da função de duas variáveis
. O conteúdo usado aqui é gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificá-los, usando o critério de Sylvester.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
e igualamos a zero para achar os pontos críticos. Temos:</p>
</p>Resolvendo o sistema
: de
vem
. Substituindo em
dá
, logo
e
. Assim, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora usamos a matriz Hessiana para classificar esse ponto. A Hessiana é</p>
</p>Calculamos o determinante principal
e a segunda derivada em
,
. Pelo critério de Sylvester,
e
indicam mínimo local.
Passo 4
Podemos também avaliar o valor da função nesse ponto por curiosidade:</p>
Resposta
A função tem um único ponto crítico em (2,2), que é um mínimo local (com valor f(2,2)=−8).