Classifique os pontos críticos de:
f(x, y)=x^2-2 x y+3 y^2-8 y

Passo 1

O enunciado pede para classificar os pontos críticos da função de duas variáveis f(x,y)=x^2-2xy+3y^2-8y. O conteúdo usado aqui é gradiente para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificá-los, usando o critério de Sylvester.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a zero para achar os pontos críticos. Temos:</p> fx=partial fpartial x=2x-2y, fy=partial fpartial y=-2x+6y-8</p>Resolvendo o sistema fx=0,,fy=0: de 2x-2y=0 vem x=y. Substituindo em -2x+6y-8=0 4y-8=0, logo y=2 e x=2. Assim, o único ponto crítico é (2,2).

Passo 3

Agora usamos a matriz Hessiana para classificar esse ponto. A Hessiana é</p> H=fxx&fxyfyx&fyy=2&-2-2&6</p>Calculamos o determinante principal D=det(H)=2cdot6-(-2)cdot(-2)=12-4=8>0 e a segunda derivada em x, fxx=2>0. Pelo critério de Sylvester, D>0 e fxx>0 indicam mínimo local.

Passo 4

Podemos também avaliar o valor da função nesse ponto por curiosidade:</p> f(2,2)=2^2-2cdot2cdot2+3cdot2^2-8cdot2=4-8+12-16=-8

Resposta

A função tem um único ponto crítico em (2,2), que é um mínimo local (com valor f(2,2)=−8).

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