Seja ( an) uma sequência limitada e ( bn) uma sequência convergente, com lim n infty bn=0. Mostre que a sequência ( an cdot bn) converge para 0. (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante M>0 tal que |an| <= M para todo n.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas sequências aqui: uma, chamada an , que é limitada (isso quer dizer que seus termos não crescem indefinidamente) e outra, bn , que é uma sequência que converge para 0. Nosso objetivo é mostrar que a sequência formada pelo produto desses dois, an cdot bn , também converge para 0. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto e a ideia de que an é limitada por uma constante M .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa an ser limitada. Isso quer dizer que existe um número positivo M tal que para todo n , o valor absoluto de an é menor ou igual a M . Matemáticamente, escrevemos:
|an| <= M para todo n
Esse M é como um “teto” para os valores de an .

Passo 3

Agora, sabemos que bn converge para 0. Ou seja, à medida que n aumenta, os termos de bn ficam cada vez menores, se aproximando de 0. Formalmente:
limn to infty bn = 0
Isso significa que para qualquer número pequeno epsilon > 0 , existe um número N tal que para todo n >= N , temos |bn| < epsilon .

Passo 4

Vamos analisar o produto an cdot bn . Queremos mostrar que ele também converge para 0. Para isso, observamos:
|an cdot bn| = |an| cdot |bn|
Como |an| <= M , podemos substituir na equação:
|an cdot bn| <= M cdot |bn|

Passo 5

Como bn converge para 0, para qualquer epsilon > 0 , podemos escolher epsilon' = epsilonM . Então, existe um N tal que para todo n >= N :
|bn| < epsilon' = epsilonM
Multiplicando por M , temos:
M cdot |bn| < M cdot epsilonM = epsilon
Portanto:
|an cdot bn| <= M cdot |bn| < epsilon

Passo 6

Isso mostra que para qualquer epsilon > 0 , existe um N tal que para todo n >= N , |an cdot bn| < epsilon . Ou seja, a sequência an cdot bn satisfaz a definição de convergência para 0 pelo Teorema do Confronto.

Resposta

limn to infty (an cdot bn) = 0

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