Seja (
) uma sequência limitada e (
) uma sequência convergente, com
. Mostre que a sequência (
) converge para 0. (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante
tal que
para todo
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas sequências aqui: uma, chamada
, que é limitada (isso quer dizer que seus termos não crescem indefinidamente) e outra,
, que é uma sequência que converge para 0. Nosso objetivo é mostrar que a sequência formada pelo produto desses dois,
, também converge para 0. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto e a ideia de que
é limitada por uma constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser limitada. Isso quer dizer que existe um número positivo
tal que para todo
, o valor absoluto de
é menor ou igual a
. Matemáticamente, escrevemos:
Esse
é como um “teto” para os valores de
.
Passo 3
Agora, sabemos que
converge para 0. Ou seja, à medida que
aumenta, os termos de
ficam cada vez menores, se aproximando de 0. Formalmente:
Isso significa que para qualquer número pequeno
, existe um número
tal que para todo
, temos
.
Passo 4
Vamos analisar o produto
. Queremos mostrar que ele também converge para 0. Para isso, observamos:
Como
, podemos substituir na equação:
Passo 5
Como
converge para 0, para qualquer
, podemos escolher
. Então, existe um
tal que para todo
:
Multiplicando por
, temos:
Portanto:
Passo 6
Isso mostra que para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
. Ou seja, a sequência
satisfaz a definição de convergência para 0 pelo Teorema do Confronto.