a)
Classifique os pontos críticos da função
b)
A função
tem ponto de máximo absoluto? E de mínimo absoluto?
Passo 1
O enunciado pede para classificar os pontos críticos da função
e determinar se há extremos absolutos. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, resolução do sistema
e teste da segunda derivada via matriz Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
O sistema
é
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo
ou
, e
. Os pontos críticos são
Passo 4
Calculamos as segundas derivadas para montar a Hessiana:
Passo 5
Aplicamos o teste da segunda derivada. Definimos
Em
:
logo
é ponto de sela.
Em :
Em
e
logo mínimo local.
Passo 6
Como
é um polinômio de grau ímpar em
, temos
Portanto não existem máximo nem mínimo absolutos.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
— ponto de sela
— mínimo local
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.