a) (1,0) Classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=8 x^3+2 x y-3 x^2+y^2+1
b) (1,0) A função f tem ponto de máximo absoluto? E de mínimo absoluto?

Passo 1

O enunciado pede para classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=8x^3+2xy-3x^2+y^2+1
e determinar se há extremos absolutos. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, resolução do sistema nabla f=0 e teste da segunda derivada via matriz Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=24x^2-6x+2y,
partial fpartial y=2x+2y

Passo 3

O sistema nabla f=0 é
24x^2-6x+2y=0
2x+2y=0
Da segunda equação vem ,y=-x. Substituindo na primeira:
24x^2-6x+2(-x)=0
24x^2-8x=0
8x(3x-1)=0
Logo x=0 ou x=tfrac13, e y=-x. Os pontos críticos são
(0,0)el(tfrac13,-tfrac13r)

Passo 4

Calculamos as segundas derivadas para montar a Hessiana:
fxx=48x-6,
fyy=2,
fxy=2

Passo 5

Aplicamos o teste da segunda derivada. Definimos
D=fxxfyy-(fxy)^2
Em (0,0):
D=(48cdot0-6)cdot2-2^2=-6cdot2-4=-16<0,
logo (0,0) é ponto de sela.
Em l(tfrac13,-tfrac13r):
D=(48cdottfrac13-6)cdot2-4=(16-6)cdot2-4=20-4=16>0,
e
fxxl(tfrac13,-tfrac13r)=48cdottfrac13-6=10>0,
logo mínimo local.

Passo 6

Como f é um polinômio de grau ímpar em x, temos
limxto+inftyf(x,y)=+infty,
limxto-inftyf(x,y)=-infty
Portanto não existem máximo nem mínimo absolutos.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) — ponto de sela
l(tfrac13,-tfrac13r) — mínimo local
Não há máximo absoluto nem mínimo absoluto.

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