(1,0) Determine a derivada direcional da função g(x, y)=e^x sen y no ponto P=(0, pi / 3) e na direção do vetor v=(3,5).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
g(x,y)=e^xsin y
no ponto P=(0,pi/3) na direção do vetor v=(3,5).
Para isso a gente vai usar que
D ug(P)=nabla g(P)cdot u,
onde nabla g é o gradiente de g e u é o vetor de direção normalizado.

Passo 2

Vamos achar o gradiente de g.
As derivadas parciais são
partial gpartial x=e^xsin y, partial gpartial y=e^xcos y
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nabla g(x,y)=l(e^xsin y,;e^xcos yr)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(0,pi/3):
e^0sin!l(tfracpi3r)=raiz32, e^0cos!l(tfracpi3r)=12
Portanto
nabla g(0,tfracpi3)=l(raiz32,;12r)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de v=(3,5).
O módulo de v é
|v|=raiz3^2+5^2=raiz34,
então
u=1raiz34(3,5)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D ug(P) =nabla g(0,tfracpi3)cdot u =l(raiz32,;12r)cdot 1raiz34(3,5)
Fazendo as contas:
D ug(P) =1raiz34l(raiz32cdot 3 + 12cdot 5r) =3raiz3+52raiz34

Resposta

D ug(0,tfracpi3) =3raiz3+52raiz34

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