Questão 4 - Solução da Equação de Laplace com separação de variáveis

Considere a equação de Laplace bidimensional no retângulo -b <= x <= b, 0 <= y <= a :
partial^2 Vpartial x^2+partial^2 Vpartial y^2=0
com as seguintes condições de contorno:
V(x, 0) & =0 & para todo x in[-b, b] V(x, a) & =0 & para todo x in[-b, b] V(b, y) & =V0 & para todo y in[0, a] V(-b, y) & =V0 & para todo y in[0, a]
a) Use o método de separação de variáveis para resolver a equação de Laplace neste domínio com as condições acima.
b) Encontre a solução geral na forma de uma série Fourier de senos. Explicite o cálculo dos coeficientes da série.

Passo 1

Temos a equação de Laplace bidimensional no retângulo
- b <= x <= b, 0 <= y <= a
partial^2 Vpartial x^2 + partial^2 Vpartial y^2 = 0
com condições de contorno
V(x,0)=0, V(x,a)=0, V(b,y)=V0, V(-b,y)=V0
O método que vamos usar é separação de variáveis: supomos V(x,y)=X(x),Y(y), obtemos duas EDOs ligadas por um parâmetro de separação, impomos as condições em y para achar os autovalores e depois satisfazemos as condições em x.

Passo 2

Suponha
V(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo na Laplace:
X''(x),Y(y) + X(x),Y''(y)=0 ;Longrightarrow; X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y)=0
Como a primeira parcela depende só de x e a segunda só de y, cada uma deve ser constante. Chamamos de k^2:
X''(x)X(x)=k^2, Y''(y)Y(y)=-k^2

Passo 3

A EDO em y é
Y'' + k^2 Y=0,
com Y(0)=0 e Y(a)=0. As soluções não-triviais são
Yn(y)=sin!l(kn,yr), kn = npia, n=1,2,3,dots
ou seja, os autovalores são kn.

Passo 4

A EDO em x é
X'' - kn^2,X=0,
cuja solução geral é
Xn(x)=Ancosh!l(kn xr)+Bnsinh!l(kn xr)
Logo, a solução geral por separação fica
V(x,y) =sumn=1^inftyl[Ancosh(kn x)+Bnsinh(kn x)r]sin(kn y)

Passo 5

Impondo V(b,y)=V0 e V(-b,y)=V0, obtemos para cada n:
Ancosh(kn b)+Bnsinh(kn b) =Cn,
Ancosh(kn b)-Bnsinh(kn b) =Cn,
onde Cn são os coeficientes da expansão de V0 em senos. Subtraindo essas duas equações vemos que Bn=0. Então
Ancosh(kn b)=Cn ;Longrightarrow; An = Cncosh(kn b)
Fica
V(x,y) =sumn=1^infty Cn,cosh(kn x)cosh(kn b),sin(kn y)

Passo 6

Para determinar Cn expandimos a função constante V0 em série de senos em yin[0,a]:
V0 =sumn=1^infty Cnsin!l(kn yr)
Os coeficientes vêm de
Cn =2aintegral0^aV0sin!l(npi yar),dy =2V0a,anpil[1-(-1)^nr] =2V0npil[1-(-1)^nr]
Como 1-(-1)^n é zero para n par e 2 para n ímpar, só aparecem termos ímpares:
C2m-1=4V0(2m-1)pi, m=1,2,3,dots

Passo 7

Substituindo kn=npia e Cn na solução geral, obtemos
V(x,y) =summ=1^infty 4V0(2m-1)pi, cosh!l(tfrac(2m-1)pia,xr) cosh!l(tfrac(2m-1)pia,br) , sin!l(tfrac(2m-1)pia,yr)

Resposta

boxed V(x,y) =summ=1^infty 4V0(2m-1)pi , cosh!l(tfrac(2m-1)pia,xr) cosh!l(tfrac(2m-1)pia,br) , sin!l(tfrac(2m-1)pia,yr)

Exercícios relacionados