Questão 4 - Solução da Equação de Laplace com separação de variáveis
Considere a equação de Laplace bidimensional no retângulo
:
com as seguintes condições de contorno:
a) Use o método de separação de variáveis para resolver a equação de Laplace neste domínio com as condições acima.
b) Encontre a solução geral na forma de uma série Fourier de senos. Explicite o cálculo dos coeficientes da série.
b) Encontre a solução geral na forma de uma série Fourier de senos. Explicite o cálculo dos coeficientes da série.
Passo 1
Temos a equação de Laplace bidimensional no retângulo
com condições de contorno
O método que vamos usar é separação de variáveis: supomos
, obtemos duas EDOs ligadas por um parâmetro de separação, impomos as condições em
para achar os autovalores e depois satisfazemos as condições em
.
Passo 2
Suponha
Substituindo na Laplace:
Como a primeira parcela depende só de
e a segunda só de
, cada uma deve ser constante. Chamamos de
:
Passo 3
A EDO em
é
com
e
. As soluções não-triviais são
ou seja, os autovalores são
.
Passo 4
A EDO em
é
cuja solução geral é
Logo, a solução geral por separação fica
Passo 5
Impondo
e
, obtemos para cada
:
onde
são os coeficientes da expansão de
em senos. Subtraindo essas duas equações vemos que
. Então
Fica
Passo 6
Para determinar
expandimos a função constante
em série de senos em
:
Os coeficientes vêm de
Como
é zero para
par e
para
ímpar, só aparecem termos ímpares:
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos