Dada
a) Determine
e
b) Calcule
na direcal do vetor
c) Encontre a taxa de variagao máxima de
em (1,0) e determine a direção de variação mínima em (1,0).
a) Determine
b) Calcule
c) Encontre a taxa de variagao máxima de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
– (a) as derivadas parciais e
;
– (b) a derivada direcional em na direção do vetor
;
– (c) a taxa máxima de variação em e a direção de variação mínima nesse ponto.
Para isso vamos usar:
– (a) as derivadas parciais
– (b) a derivada direcional em
– (c) a taxa máxima de variação em
Para isso vamos usar:
- Regra da derivada parcial (tratando a outra variável como constante).
- Gradiente
e fórmula da derivada direcional
. - Que a taxa máxima de variação é
e a direção de mínima variação é normalizada.
Passo 2
Calcular
e
.
Derivando em relação a (tratando
como constante) e usando produto em
:
Derivando em relação a
Derivando em relação a
:
Passo 3
Avaliar o gradiente em
.
Em temos
, logo
Em
Portanto
.
Passo 4
Determinar a derivada direcional em
.
Primeiro normalizamos :
Primeiro normalizamos
Então
Passo 5
Calcular a taxa máxima de variação em
.
A direção de variação máxima é
normalizado, mas não foi pedida explicitamente.
Passo 6
A direção de variação mínima é o oposto do gradiente normalizado, ou seja
Resposta
(a)
(b)
(c)
Taxa máxima de variação: .
Direção de variação mínima: .
Taxa máxima de variação:
Direção de variação mínima: