Dada f(x, y)=x^{2} y+3 x^{2} e^{x y}
a) Determine \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}
b) Calcule \frac{\partial f}{\partial \vec{N}}(1,0) na direcal do vetor \vec{v}=(1,-2)
c) Encontre a taxa de variagao máxima de f(x, y) em (1,0) e determine a direção de variação mínima em (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y+3x^{2}e^{xy}
e pede:
– (a) as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y};
– (b) a derivada direcional em (1,0) na direção do vetor \vec v=(1,-2);
– (c) a taxa máxima de variação em (1,0) e a direção de variação mínima nesse ponto.
Para isso vamos usar:
  1. Regra da derivada parcial (tratando a outra variável como constante).
  2. Gradiente \nabla f=(f_{x},f_{y}) e fórmula da derivada direcional
    \displaystyle D_{\vec N}f=\nabla f\cdot\vec N.
  3. Que a taxa máxima de variação é \|\nabla f\| e a direção de mínima variação é -\nabla f normalizada.

Passo 2

Calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante) e usando produto em 3x^{2}e^{xy}:
\frac{\partial f}{\partial x} =2xy + 6x e^{xy} + 3x^{2}y\,e^{xy}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} =x^{2} + 3x^{2}\cdot x\,e^{xy} =x^{2} + 3x^{3}e^{xy}.

Passo 3

Avaliar o gradiente em (1,0).
Em (1,0) temos e^{x y}=e^{0}=1, logo
f_{x}(1,0)=2\cdot1\cdot0 + 6\cdot1\cdot1 + 3\cdot1^{2}\cdot0\cdot1 =6,
f_{y}(1,0)=1^{2} + 3\cdot1^{3}\cdot1 =1+3=4.
Portanto \nabla f(1,0)=(6,4).

Passo 4

Determinar a derivada direcional em \vec v=(1,-2).
Primeiro normalizamos \vec v:
\|\vec v\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}, \quad \vec N=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\frac{1}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5}\Bigr).
Então
D_{\vec N}f(1,0) =\nabla f(1,0)\cdot\vec N =(6,4)\cdot\Bigl(\tfrac1{\sqrt5},-\tfrac2{\sqrt5}\Bigr) =\frac{6-8}{\sqrt5} =-\frac{2}{\sqrt5}.

Passo 5

Calcular a taxa máxima de variação em (1,0).
\|\nabla f(1,0)\| =\sqrt{6^{2}+4^{2}} =\sqrt{36+16} =\sqrt{52} =2\sqrt{13}.
A direção de variação máxima é \nabla f(1,0) normalizado, mas não foi pedida explicitamente.

Passo 6

A direção de variação mínima é o oposto do gradiente normalizado, ou seja
-\frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|} =-\frac{(6,4)}{2\sqrt{13}} =\Bigl(-\frac{3}{\sqrt{13}},-\frac{2}{\sqrt{13}}\Bigr).

Resposta

(a)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2xy+6x e^{xy}+3x^{2}y\,e^{xy},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+3x^{3}e^{xy}.
(b)
\displaystyle D_{\vec N}f(1,0)=-\frac{2}{\sqrt5}.
(c)
Taxa máxima de variação: 2\sqrt{13}.
Direção de variação mínima: \bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{13}},-\tfrac{2}{\sqrt{13}}\bigr).

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