Usando a regra da cadeia encontre \frac{\partial z}{\partial r} sendo z=e^{-x} \operatorname{sen} x y, x=r^{2}+r e y=r-r^{2}

Passo 1

O enunciado define
z = e^{-x}\,\sin(xy),
com
x = r^{2} + r
e
y = r - r^{2}.
Queremos \frac{\partial z}{\partial r} usando a regra da cadeia para capturar a dependência de z em r via x(r) e y(r).

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
Para \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos produto e cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x}\bigr)\,\sin(xy) + e^{-x}\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(xy)\bigr).
Isso dá
\frac{\partial z}{\partial x} = -e^{-x}\,\sin(xy) + e^{-x}\,\cos(xy)\,\frac{\partial(xy)}{\partial x} = -e^{-x}\,\sin(xy) + e^{-x}\,y\,\cos(xy).
Para \frac{\partial z}{\partial y}, x é constante, então
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{-x}\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(xy)\bigr) = e^{-x}\,\cos(xy)\,\frac{\partial(xy)}{\partial y} = e^{-x}\,x\,\cos(xy).

Passo 3

Agora calculemos as derivadas de x e y em relação a r:
\frac{dx}{dr} = \frac{d}{dr}(r^{2}+r) = 2r + 1, \qquad \frac{dy}{dr} = \frac{d}{dr}(r - r^{2}) = 1 - 2r.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para funções de duas variáveis dependentes de r:
\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dr} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dr}.

Passo 5

Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial z}{\partial r} = \bigl(-e^{-x}\sin(xy) + e^{-x}y\cos(xy)\bigr)(2r+1) + \bigl(e^{-x}x\cos(xy)\bigr)(1-2r).
Fatorando e^{-x}:
\frac{\partial z}{\partial r} = e^{-x}\Bigl[\bigl(-\sin(xy)+y\cos(xy)\bigr)(2r+1) + x\cos(xy)\,(1-2r)\Bigr],
onde x=r^{2}+r e y=r-r^{2}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial r} = e^{-x}\Bigl[\bigl(-\sin(xy)+y\cos(xy)\bigr)(2r+1) + x\cos(xy)\,(1-2r)\Bigr],
com x=r^{2}+r e y=r-r^{2}.

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