Classifique, se possível, os pontos críticos da função .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
Conteúdo: derivadas parciais para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificar cada ponto (máximo local, mínimo local ou sela).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de :
Para pontos críticos igualamos ambas a zero, obtendo
Passo 3
Os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar usamos a matriz Hessiana de :
O critério de Sylvester em duas variáveis diz que, no ponto crítico, se det H < 0 é ponto de sela; se det H > 0 e gxx > 0 é mínimo local; se det H > 0 e gxx < 0 é máximo local.
Passo 5
Avaliação da Hessiana em cada ponto:
Em (0,0):
gxx = -2,
gyy = 4 - 12cdot 0^2 = 4,
det H = (-2)cdot 4 = -8 < 0
Logo ponto de sela.
Em (0,1) e (0,-1):
gxx = -2,
gyy = 4 - 12cdot1^2 = -8,
det H = (-2)cdot(-8) = 16 > 0
e como gxx = -2 < 0, são máximos locais.
Resposta
Em (0,0) temos ponto de sela.
Em (0,1) e em (0,-1) temos máximos locais.