Classifique, se possível, os pontos críticos da função g(x, y)=2 y^2-x^2-y^4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
g(x,y) = 2y^2 - x^2 - y^4
Conteúdo: derivadas parciais para achar pontos críticos e matriz Hessiana para classificar cada ponto (máximo local, mínimo local ou sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g:
partial gpartial x = -2x,
partial gpartial y = 4y - 4y^3 = 4y(1 - y^2)
Para pontos críticos igualamos ambas a zero, obtendo
-2x = 0 implies x = 0,
4y(1-y^2) = 0 implies y = 0 ou y = pm 1

Passo 3

Os pontos críticos são
(0,0), (0,1), (0,-1)

Passo 4

Para classificar usamos a matriz Hessiana de g:
H = gxx & gxy gyx & gyy = -2 & 0 0 & 4 - 12y^2
O critério de Sylvester em duas variáveis diz que, no ponto crítico, se det H < 0 é ponto de sela; se det H > 0 e gxx > 0 é mínimo local; se det H > 0 e gxx < 0 é máximo local.

Passo 5

Avaliação da Hessiana em cada ponto:
Em (0,0):
gxx = -2,
gyy = 4 - 12cdot 0^2 = 4,
det H = (-2)cdot 4 = -8 < 0
Logo ponto de sela.
Em (0,1) e (0,-1):
gxx = -2,
gyy = 4 - 12cdot1^2 = -8,
det H = (-2)cdot(-8) = 16 > 0
e como gxx = -2 < 0, são máximos locais.

Resposta

Em (0,0) temos ponto de sela.
Em (0,1) e em (0,-1) temos máximos locais.

Exercícios relacionados