Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
Passo 1
Enunciado: classificar quanto à monotonicidade a sequência
.
Informações dadas e observações imediatas: a sequência está definida por uma fórmula explícita para inteiro não-negativo (ou natural). Cada termo é positivo, pois
e
para todo
. O que se pede é dizer se a sequência é crescente, decrescente, monotona a partir de algum índice, etc.
Informações dadas e observações imediatas: a sequência está definida por uma fórmula explícita para
Passo 2
Definição prática que usaremos (explicada): para verificar monotonicidade é comum comparar termos consecutivos. Se para todo
tivermos
a sequência é estritamente crescente; se
para todo
é estritamente decrescente. Portanto vamos calcular a razão entre termos consecutivos
e ver se ela é menor, igual ou maior que
.
Passo 3
Cálculo da razão entre termos consecutivos (cada passo mostrado):
Agora simplificamos o expoente:
Logo
Passo 4
Análise da razão: queremos comparar
com
.
A desigualdade é equivalente a
A desigualdade
Calculemos o menor
inteiro que satisfaz isso. Como
,
e
, vemos que para
(isto é, para
) a desigualdade vale. Portanto, para todo
temos
o que significa
para todo
. Assim a sequência é estritamente decrescente a partir de
.
Passo 5
Observação sobre o caso
: se a sequência for considerada também em
, temos
e
. Então
, ou seja, olhando desde
os primeiros dois termos aumentam; portanto a sequência não é monotônica em todo o conjunto
. Porém, a partir de
ela passa a ser estritamente decrescente.
Passo 6
Ilustração numérica rápida (para intuir):
,
,
. Veja que para
os termos vão caindo, conforme demonstrado analiticamente.
Comentário adicional (útil para prova): além de ser estritamente decrescente para , a sequência é positiva e decresce rapidamente para
. Uma maneira rápida de ver que
é escrever
; o termo
domina para grande
, levando o expoente a
e portanto
. Isso não era pedido explicitamente, mas ajuda a entender o comportamento.
Comentário adicional (útil para prova): além de ser estritamente decrescente para
Resposta
A sequência é estritamente decrescente para todo
.
Se for considerada também em , não é monotônica em todo o conjunto
, mas é decrescente a partir de
.
Se for considerada também em