Classifique, se possível, as sequências abaixo quanto à sua monotonicidade.
u_{n}=\frac{5^{n}}{2^{n^{2}}}

Passo 1

Enunciado: classificar quanto à monotonicidade a sequência u_{n}=\dfrac{5^{n}}{2^{n^{2}}}.
Informações dadas e observações imediatas: a sequência está definida por uma fórmula explícita para n inteiro não-negativo (ou natural). Cada termo é positivo, pois 5^{n}>0 e 2^{n^{2}}>0 para todo n. O que se pede é dizer se a sequência é crescente, decrescente, monotona a partir de algum índice, etc.

Passo 2

Definição prática que usaremos (explicada): para verificar monotonicidade é comum comparar termos consecutivos. Se para todo n tivermos u_{n+1}>u_{n} a sequência é estritamente crescente; se u_{n+1}<u_{n} para todo n é estritamente decrescente. Portanto vamos calcular a razão entre termos consecutivos \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} e ver se ela é menor, igual ou maior que 1.

Passo 3

Cálculo da razão entre termos consecutivos (cada passo mostrado):
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\dfrac{5^{n+1}}{2^{(n+1)^2}}}{\dfrac{5^{n}}{2^{n^{2}}}} = 5 \cdot 2^{\,n^{2}-(n+1)^{2}}
Agora simplificamos o expoente:
n^{2}-(n+1)^{2}=n^{2}-(n^{2}+2n+1)=-2n-1.
Logo
\frac{u_{n+1}}{u_n}=5\cdot 2^{-2n-1}=\frac{5}{2^{2n+1}}.

Passo 4

Análise da razão: queremos comparar \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{5}{2^{2n+1}} com 1.
A desigualdade \dfrac{5}{2^{2n+1}}<1 é equivalente a
2^{2n+1}>5.
Calculemos o menor n inteiro que satisfaz isso. Como 2^{1}=2, 2^{3}=8 e 8>5, vemos que para 2n+1\ge 3 (isto é, para n\ge 1) a desigualdade vale. Portanto, para todo n\ge 1 temos
\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5}{2^{2n+1}}<1,
o que significa u_{n+1}<u_n para todo n\ge 1. Assim a sequência é estritamente decrescente a partir de n=1.

Passo 5

Observação sobre o caso n=0: se a sequência for considerada também em n=0, temos u_0=\dfrac{5^{0}}{2^{0}}=1 e u_1=\dfrac{5}{2}=2{,}5. Então u_1>u_0, ou seja, olhando desde n=0 os primeiros dois termos aumentam; portanto a sequência não é monotônica em todo o conjunto \{0,1,2,\dots\}. Porém, a partir de n=1 ela passa a ser estritamente decrescente.

Passo 6

Ilustração numérica rápida (para intuir): u_1=5/2=2{,}5, u_2=25/16=1{,}5625, u_3=125/512\approx0{,}2441. Veja que para n\ge1 os termos vão caindo, conforme demonstrado analiticamente.
Comentário adicional (útil para prova): além de ser estritamente decrescente para n\ge1, a sequência é positiva e decresce rapidamente para 0. Uma maneira rápida de ver que u_n\to 0 é escrever u_n=\exp\big(n\ln 5 - n^{2}\ln 2\big); o termo -n^{2}\ln 2 domina para grande n, levando o expoente a -\infty e portanto u_n\to 0. Isso não era pedido explicitamente, mas ajuda a entender o comportamento.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente para todo n\ge 1.
Se for considerada também em n=0, não é monotônica em todo o conjunto \{0,1,2,\dots\}, mas é decrescente a partir de n=1.

Exercícios relacionados