Classifique quanto a BIBO-Estabilidade e causalidade os sistemas lineares e invariantes no tempo com respostas ao impulso dadas a seguir:
h(t)=e^-t

Passo 1

O enunciado pede para analisar um sistema LTI contínuo cuja resposta ao impulso é
h(t) = e^-t
e dizer se ele é BIBO–estável e se é causal. Para isso vamos usar:
  • Estabilidade BIBO: um sistema LTI é BIBO–estável se, e somente se, integral-infty^infty l|h(t)r|,dt < infty
  • Causalidade: um sistema LTI é causal se, e somente se, h(t)=0 para todo t<0

Passo 2

Verificando a estabilidade BIBO, calculamos
integral-infty^inftyl|h(t)r|,dt =integral-infty^inftye^-t,dt
Como e^-t>0 em toda reta dos reais, separamos em duas partes:
integral-infty^inftye^-t,dt =integral-infty^0e^-t,dt +integral0^inftye^-t,dt

Passo 3

Calculamos cada termo:
integral0^inftye^-t,dt =l[-e^-tr]0^infty =1,
integral-infty^0e^-t,dt =limAto-inftyl[-e^-tr]A^0 =limAto-inftyl(-1 + e^-Ar) =infty
pois e^-Atoinfty quando Ato -infty. Logo
integral-infty^inftye^-t,dt = infty,
portanto não é BIBO–estável.

Passo 4

Agora para a causalidade, lembramos que precisamos ter
h(t)=0 forall,t<0
Aqui temos h(t)=e^-tneq0 para qualquer t<0. Logo o sistema
não é causal.

Resposta

O sistema com h(t)=e^-t é não causal e não BIBO–estável.

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