Seja:
A=(lll 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3 )
a) Decompor A em L e U.
b) Através da decomposição L U, calcular o determinante de A.
c) Resolver o sistema A x=b1, onde b1=(0,-7,-5)^t.
d) Resolver o sistema A x=b2, onde b2=(1,1,5)^t.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3
e pede: (a) decomposição A = LU; (b) det(A) via LU; (c) solução de Ax=b1 com b1=(0,-7,-5)^t; (d) solução de Ax=b2 com b2=(1,1,5)^t.
Conteúdo: fatoração LU por eliminação de Gauss sem pivô, cálculo de determinante e resolução de sistemas triangulares.

Passo 2

Vamos aplicar eliminação de Gauss a A para obter U e recolher os multiplicadores em L.
1. Pivot em a11=5.
m21=35, m31=15
Subtraindo m21 vezes a linha 1 da linha 2, e m31 vezes a linha 1 da linha 3, obtemos
U^(1) = 5 & 2 & 1 0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & tfrac35 & tfrac145
2. Pivot em u22=-tfrac15.
m32=35-15=-3
Subtraindo m32 vezes a linha 2 da linha 3, chega-se a
U = 5 & 2 & 1 0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & 0 & 13
Os multiplicadores formam
L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1

Passo 3

Usando det(A)=det(L)det(U) e det(L)=1, temos
det(A)=5cdotl(-tfrac15r)cdot13=-13

Passo 4

Resolvendo
Ly
Então . Agora :
Da terceira equação .
Da primeira .
Logo .

Passo 5

Para b2=(1,1,5)^t, similarmente Ly=b2
y1=1, y2+tfrac35cdot1=1implies y2=tfrac25, y3+tfrac15cdot1-3cdottfrac25=5implies y3=6
Então y=(1,tfrac25,6)^t. Em Ux=y:
13x3=6implies x3=tfrac613, -tfrac15x2+tfrac175cdottfrac613=tfrac25implies x2=tfrac7613,
5x1+2cdottfrac7613+tfrac613=1implies x1=-tfrac2913
Assim x^(2)=l(-tfrac2913,tfrac7613,tfrac613r)^t.

Resposta

(a)
L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1 , U = 5 & 2 & 1 0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & 0 & 13
(b) det(A)=-13
(c) Solução de Ax=b1: x=(0,1,-2)^t
(d) Solução de Ax=b2: x=l(-tfrac2913,tfrac7613,tfrac613r)^t

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