Classifique quanto à injetividade e sobrejetividade:
T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{3}(\mathbb{R}), T(p(x))=x \cdot p(x)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{3}(\mathbb{R}),\qquad T(p(x))=x\cdot p(x).
O que se pede: classificar T quanto à injetividade e quanto à sobrejetividade (ou seja, decidir se T é injetiva e se é sobrejetiva).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O domínio é o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2: P_{2}(\mathbb{R}). Esse espaço tem dimensão 3.
  • O contradomínio é P_{3}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios reais de grau \le 3. Esse espaço tem dimensão 4.
  • A aplicação multiplica cada polinômio por x, produzindo um polinômio de grau no máximo 3.

Passo 2

Definições que usarei (explicadas de forma bem direta):
  • Uma transformação linear T é injetiva se T(p)=T(q) implica p=q. Equivalente, para transformações lineares, é \ker(T)=\{0\}.
  • Uma transformação linear T é sobrejetiva se \operatorname{Im}(T)= todo o contradomínio. Ou seja, cada polinômio em P_{3}(\mathbb{R}) é imagem de algum polinômio em P_{2}(\mathbb{R}).
Essas são as ferramentas: calcular núcleo (para injetividade) e imagem (para sobrejetividade). Vou mostrar passo a passo como fazer isso de modo que dê para aplicar na prova.

Passo 3

Primeiro: a linearidade rápida (é bom mostrar na prova):
Para p,q\in P_{2}(\mathbb{R}) e \alpha,\beta\in\mathbb{R},
T(\alpha p+\beta q)=x\cdot(\alpha p+\beta q)=\alpha (x p)+\beta (x q)=\alpha T(p)+\beta T(q),
logo T é linear. Isso nos permite usar propriedades de núcleo/imagem.

Passo 4

Cálculo do núcleo \ker(T):
Queremos todos p\in P_{2}(\mathbb{R}) tais que T(p)=0 (o polinômio zero). Ou seja,
x\cdot p(x)=0\quad\text{(igualdade de polinômios para todo }x).ô
Se x\cdot p(x) é o polinômio zero, então para todo x\neq 0 temos p(x)=0. Assim p tem infinitos zeros (todos os x\neq0), o que só pode acontecer se p for o polinômio nulo. Formalmente, outra argumentação: se p não for o polinômio zero, então \deg(x p)=\deg(p)+1\ge 1, logo não pode ser o polinômio zero. Portanto a única solução é p=0.
Conclusão: \ker(T)=\{0\}. Pela equivalência citada, T é injetiva.
Dica prática para prova: provar que x p(x)=0 implica p=0 é curto e suficiente; alternativamente, diga que se p não é nulo então x p tem grau pelo menos 1, logo não pode ser o polinômio zero.

Passo 5

Cálculo da imagem \operatorname{Im}(T):
Uma maneira prática é ver o efeito em uma base de P_{2}(\mathbb{R}). Tome a base padrão \{1,x,x^{2}\}. Aplicando T:
T(1)=x,\qquad T(x)=x^{2},\qquad T(x^{2})=x^{3}.
Portanto
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{x,x^{2},x^{3}\}.
Observação simples: todos os polinômios da imagem são múltiplos de x, isto é, têm termo constante zero. Logo polinômios com termo constante não nulo (por exemplo o polinômio constante 1) não estão na imagem. Assim \operatorname{Im}(T) não é todo P_{3}(\mathbb{R}).

Passo 6

Argumento por dimensão (combinando com o que já temos) — útil como verificação rápida:
Como \ker(T)=\{0\}, o núcleo tem dimensão 0. Pela dimensão do domínio (que é 3) e pelo teorema da dimensão (rank-nullity),
\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(P_{2})-\dim(\ker(T))=3-0=3.
Mas \dim(P_{3})=4. Então a imagem tem dimensão 3<4, logo não pode ser igual a P_{3}. Isso confirma que T NÃO é sobrejetiva.
Uma frase prática para prova: "imagem = polinômios divisíveis por x" é suficiente para explicar o porquê da não-sobrejetividade.

Passo 7

Resumo e interpretação final (para você levar pra prova):
  • Injetividade: sim — porque x\cdot p(x)=0 implica p=0.
  • Sobrejetividade: não — porque a imagem são exatamente os polinômios com termo constante zero (multiplicáveis por x), então, por exemplo, o polinômio constante 1 não tem pré-imagem em P_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

Injetiva: sim
Sobrejetiva: não

Exercícios relacionados