Classifique quanto à injetividade e sobrejetividade:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
O que se pede: classificar
quanto à injetividade e quanto à sobrejetividade (ou seja, decidir se
é injetiva e se é sobrejetiva).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O domínio é o espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a
: . Esse espaço tem dimensão . - O contradomínio é
, o espaço dos polinômios reais de grau . Esse espaço tem dimensão . - A aplicação multiplica cada polinômio por
, produzindo um polinômio de grau no máximo .
Passo 2
Definições que usarei (explicadas de forma bem direta):
- Uma transformação linear
é injetiva se implica . Equivalente, para transformações lineares, é . - Uma transformação linear
é sobrejetiva se todo o contradomínio. Ou seja, cada polinômio em é imagem de algum polinômio em .
Essas são as ferramentas: calcular núcleo (para injetividade) e imagem (para sobrejetividade). Vou mostrar passo a passo como fazer isso de modo que dê para aplicar na prova.
Passo 3
Primeiro: a linearidade rápida (é bom mostrar na prova):
Para e
,
Para
logo
é linear. Isso nos permite usar propriedades de núcleo/imagem.
Passo 4
Cálculo do núcleo
:
Queremos todos tais que
(o polinômio zero). Ou seja,
Queremos todos
Se
é o polinômio zero, então para todo
temos
. Assim
tem infinitos zeros (todos os
), o que só pode acontecer se
for o polinômio nulo. Formalmente, outra argumentação: se
não for o polinômio zero, então
, logo não pode ser o polinômio zero. Portanto a única solução é
.
Conclusão:
. Pela equivalência citada,
é injetiva.
Dica prática para prova: provar que
implica
é curto e suficiente; alternativamente, diga que se
não é nulo então
tem grau pelo menos
, logo não pode ser o polinômio zero.
Passo 5
Cálculo da imagem
:
Uma maneira prática é ver o efeito em uma base de . Tome a base padrão
. Aplicando
:
Uma maneira prática é ver o efeito em uma base de
Portanto
Observação simples: todos os polinômios da imagem são múltiplos de
, isto é, têm termo constante zero. Logo polinômios com termo constante não nulo (por exemplo o polinômio constante
) não estão na imagem. Assim
não é todo
.
Passo 6
Argumento por dimensão (combinando com o que já temos) — útil como verificação rápida:
Como , o núcleo tem dimensão
. Pela dimensão do domínio (que é
) e pelo teorema da dimensão (rank-nullity),
Como
Mas
. Então a imagem tem dimensão
, logo não pode ser igual a
. Isso confirma que
NÃO é sobrejetiva.
Uma frase prática para prova: "imagem = polinômios divisíveis por
" é suficiente para explicar o porquê da não-sobrejetividade.
Passo 7
Resumo e interpretação final (para você levar pra prova):
- Injetividade: sim — porque
implica . - Sobrejetividade: não — porque a imagem são exatamente os polinômios com termo constante zero (multiplicáveis por
), então, por exemplo, o polinômio constante não tem pré-imagem em .
Resposta
Injetiva: sim
Sobrejetiva: não
Sobrejetiva: não