Classifique quanto à injetividade e sobrejetividade:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z)=(x, y, z, 0)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4},\qquad T(x,y,z)=(x,y,z,0).
As perguntas a responder são:
  • A transformação T é injetiva?
  • A transformação T é sobrejetiva?

Passo 2

Vamos lembrar o significado dos termos (de forma didática e curta):
  • Uma aplicação T é injetiva se vetores distintos no domínio têm imagens distintas; equivalente, no caso linear, a \ker T=\{0\}.
  • Uma aplicação T é sobrejetiva (sobre) se para todo w\in\mathbb{R}^4 existe v\in\mathbb{R}^3 com T(v)=w; ou seja, \operatorname{im}T=\mathbb{R}^4.

Passo 3

Verificação de linearidade (para usar propriedades lineares depois). Tomando u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3 e c\in\mathbb{R},
T(u+v)=T(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2,0)
e
T(u)+T(v)=(x_1,y_1,z_1,0)+(x_2,y_2,z_2,0)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2,0),
logo T(u+v)=T(u)+T(v). Também
T(cu)=T(cx_1,cy_1,cz_1)=(cx_1,cy_1,cz_1,0)=c(x_1,y_1,z_1,0)=cT(u).
Portanto T é linear. Isso permite usar, por exemplo, o fato de que T é injetiva se e somente se \ker T=\{0\}, e a relação dimensão (teorema da dimensão).

Passo 4

Calcular o núcleo (kernel). Procuramos todos os (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tais que T(x,y,z)=(0,0,0,0). Igualdade de coordenadas dá:
(x,y,z,0)=(0,0,0,0)\quad\Longrightarrow\quad x=0,\; y=0,\; z=0.
Logo
\ker T=\{(0,0,0)\},
ou seja, o núcleo é trivial. Para uma transformação linear, núcleo trivial implica injetividade. Portanto T é injetiva.

Passo 5

Determinar a imagem (range) de T. Pelas fórmulas,
\operatorname{im}T=\{(x,y,z,0)\in\mathbb{R}^4 \mid x,y,z\in\mathbb{R}\}.
Isso é exatamente o subespaço de \mathbb{R}^4 formado pelos vetores cuja quarta coordenada é zero; também podemos escrever
\operatorname{im}T=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)\},
que tem dimensão 3. Como \operatorname{im}T consiste apenas em vetores com quarta coordenada igual a zero, não é todo \mathbb{R}^4 (por exemplo (0,0,0,1)\notin\operatorname{im}T). Portanto T não é sobrejetiva.
Observação usando o teorema da dimensão (rank–nullity): \dim\mathbb{R}^3=3=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. Já vimos \dim\ker T=0, então \dim\operatorname{im}T=3, confirmando que a imagem é um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^4 e, portanto, própria.

Passo 6

Resumo e interpretação final (para fixar): T injeta \mathbb{R}^3 como o subespaço de \mathbb{R}^4 com quarta coordenada zero — portanto não perde informação (injetiva), mas também não alcança vetores com quarta coordenada não nula (não sobrejetiva).

Resposta

Injetiva: sim
Sobrejetiva: não

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