Classifique quanto à injetividade e sobrejetividade:
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
As perguntas a responder são:
- A transformação
é injetiva? - A transformação
é sobrejetiva?
Passo 2
Vamos lembrar o significado dos termos (de forma didática e curta):
- Uma aplicação
é injetiva se vetores distintos no domínio têm imagens distintas; equivalente, no caso linear, a . - Uma aplicação
é sobrejetiva (sobre) se para todo existe com ; ou seja, .
Passo 3
Verificação de linearidade (para usar propriedades lineares depois). Tomando
e
em
e
,
e
logo
. Também
Portanto
é linear. Isso permite usar, por exemplo, o fato de que
é injetiva se e somente se
, e a relação dimensão (teorema da dimensão).
Passo 4
Calcular o núcleo (kernel). Procuramos todos os
tais que
. Igualdade de coordenadas dá:
Logo
ou seja, o núcleo é trivial. Para uma transformação linear, núcleo trivial implica injetividade. Portanto
é injetiva.
Passo 5
Determinar a imagem (range) de
. Pelas fórmulas,
Isso é exatamente o subespaço de
formado pelos vetores cuja quarta coordenada é zero; também podemos escrever
que tem dimensão
. Como
consiste apenas em vetores com quarta coordenada igual a zero, não é todo
(por exemplo
). Portanto
não é sobrejetiva.
Observação usando o teorema da dimensão (rank–nullity):
. Já vimos
, então
, confirmando que a imagem é um subespaço de dimensão
em
e, portanto, própria.
Passo 6
Resumo e interpretação final (para fixar):
injeta
como o subespaço de
com quarta coordenada zero — portanto não perde informação (injetiva), mas também não alcança vetores com quarta coordenada não nula (não sobrejetiva).
Resposta
Injetiva: sim
Sobrejetiva: não
Sobrejetiva: não