Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
sumn=1^infty n!n^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da razão para descobrir se a série infinita sumn=1^infty n!n^3 converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série que estamos analisando. Ela é dada por:
sumn=1^infty n!n^3
Aqui, n! representa o fatorial de n, que é o produto de todos os números de 1 até n. O termo geral da série é:
an = n!n^3

Passo 3

O teste da razão nos pede para calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série, ou seja:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an:
an+1 = (n+1)!(n+1)^3 = (n+1) cdot n!(n+1)^3 = n!(n+1)^2
Então,
an+1an = n!(n+1)^2n!n^3 = n^3(n+1)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite desse quociente conforme n tende ao infinito:
L = limn to infty n^3(n+1)^2
Podemos simplificar o limite dividindo numerador e denominador por n^2:
L = limn to infty n^3/n^2(n+1)^2/n^2 = limn to infty n(1 + 1n)^2 = limn to infty n1 = infty

Passo 6

O limite L = infty é maior que 1. De acordo com o teste da razão, isso significa que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!n^3 diverge segundo o teste da razão.

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