Classifique a região D do plano x y limitada pela reta y=2 x e pela parábola y=x^2 e determine o volume do sólido que está contido abaixo do parabolóide z=x^2+y^2 e acima da região D. (Resposta 216/35.)

Passo 1

Beleza, o exercício quer duas coisas:
  1. Classificar a região D do plano xy limitada pela reta y=2x e pela parábola y=x^2.
  2. Calcular o volume do sólido que fica embaixo do parabolóide z=x^2+y^2 e “por cima” dessa região D.
Isso é um típico problema de Cálculo II, envolvendo integrais duplas. A gente vai precisar de:
  • Encontrar onde as curvas se cruzam.
  • Verificar se dá pra tratar D como região simples do tipo I (fixar x e deixar y variar) ou tipo II.
  • Montar integral duplaD (x^2+y^2),dA com os limites certos e resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, achamos a interseção entre y=2x e y=x^2:
x^2 = 2x ;Longrightarrow; x(x-2)=0 ;Longrightarrow; x=0 ou x=2
Para x=0, y=0; para x=2, y=4.
Desenhando, vemos que, entre x=0 e x=2, a parábola y=x^2 fica abaixo da reta y=2x.
Logo dá para escrever D como uma região simples do Tipo I:
D=l(x,y)mid 0<= x<= 2,;;x^2<= y<= 2xr

Passo 3

O volume V é dado por
V=integral duplaD (x^2+y^2),dA =integralx=0^2!integraly=x^2^2x(x^2+y^2),dy,dx
Dentro da integral em y, x é constante. Então:
integraly=x^2^2x(x^2+y^2),dy =l[x^2,y+tfracy^33r]y=x^2^y=2x

Passo 4

Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Em y=2x:
x^2cdot(2x)+(2x)^33 =2x^3+8x^33 =6x^3+8x^33 =14x^33
  1. Em y=x^2:
x^2cdot x^2+(x^2)^33 =x^4+x^63
  1. Subtraindo:
14x^33-l(x^4+tfracx^63r) =14x^33-x^4-x^63
Agora a integral em x de 0 a 2:
V=integral0^2l(14x^33-x^4-x^63r),dx =integral0^214x^33,dx -integral0^2x^4,dx -integral0^2x^63,dx
Calculando cada pedaço:
integral0^214x^33,dx =143cdotx^44|0^2 =7x^46|0^2 =7cdot166 =1126,
integral0^2x^4,dx =x^55|0^2 =325,
integral0^2x^63,dx =13cdotx^77|0^2 =12821
Juntando tudo:
V =1126-325-12821 =21635

Resposta

Região D é simples do Tipo I:
0<= x<=2, x^2<= y<=2x
O volume do sólido é
boxedV=21635

Exercícios relacionados