Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y=raizx e pelas retas y=2 e x=0 em torno:
da reta x=4. Determine a área da superfície gerada pela rotação de cada curva em torno da reta x=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=4 a região no primeiro quadrante limitada por
y = raizx, y=2, x=0,
e também as áreas de superfície geradas pela rotação de cada uma dessas três curvas em torno de x=4.
Conteúdo usado: método dos cilindros (casca cilíndrica) para volume e fórmula da área de superfície de revolução
S = integral 2pi,( raio ),ds

Passo 2

Volume pelo método das cascas cilíndricas. Cada casca, em abscissa xin[0,4], tem:
– raio R(x)=l|4 - xr| (aqui 4-x),
– altura H(x)=ytopo-yfundo=2 - raizx,
– espessura dx.
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V = integral0^4 2pi,(4-x),(2 - raizx),dx

Passo 3

Expandimos e integramos:
V &=2piintegral0^4l(8 -4raizx-2x + x^3/2r),dx &=2pil[,32 - tfrac643 -16 + tfrac645r] =2pi;11215 =224pi15

Passo 4

Área de superfície gerada pela reta y=2, 0<= x<=4.
Aqui ds=dx e o raio é R(x)=4-x.
Sy=2 =integral0^42pi,(4-x),dx =2pil[16-8r] =16pi

Passo 5

Área de superfície gerada pela reta vertical x=0, 0<= y<=2.
Aqui ds=dy e o raio é constante R=4.
Sx=0 =integral0^22picdot4,dy =8picdot2 =16pi

Passo 6

Área de superfície gerada pela curva y=raizx, 0<= x<=4.
Calculamos
dy/dx=12raizx, ds=raiz1+(dy/dx)^2,dx =raiz4x+12raizx,dx,
raio R(x)=4-x.
Sy=raizx =integral0^42pi,(4-x),raiz4x+12raizx,dx =piintegral0^4(4-x)raiz4x+1raizx,dx
Fazendo a substituição x=t^2 e integrando, chega-se ao resultado fechado
Sy=raizx =pi32l(124raiz17+65lnl(4+raiz17r)r)

Resposta

Volume:
boxedV=224pi15
Áreas de superfície:
boxed S;y=2&=16pi, S;x=0&=16pi, S;y=raizx &=pi32l(124raiz17+65ln(4+raiz17)r)

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