Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar e resolver a equação diferencial dada. A equação é
Listei as informações relevantes que temos:
- Podemos escrever a equação na forma diferencial com
e : - O que se pede: (i) classificar a equação (por exemplo: exata, linear, separável, etc.); (ii) resolver (encontrar a solução geral).
Passo 2
Teste de exatidão (explicando o conceito). Uma forma diferencial
é chamada de exata se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático: se
e
são com derivadas parciais contínuas num domínio, a forma é exata quando
Calculemos as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe
com
e
.
Passo 3
Encontrar a função potencial
integrando
em relação a
. Lembrete didático: ao integrar em relação a
, trate
como constante.
Calcule a integral:
Logo
onde
é uma função “constante de integração” que pode depender de
(explicação: ao integrar em
existe uma constante que pode variar com
porque a derivada parcial em
de qualquer função apenas em
é zero).
Passo 4
Determinar
usando a condição
. Primeiro calcule
derivando a expressão obtida em relação a
:
Pelo requisito de exatidão, isso deve ser igual a
. Assim:
Subtraindo
dos dois lados:
Integramos em
:
Observação:
é uma constante; no final ela será consolidada à constante da solução geral.
Passo 5
Montar a função potencial completa e escrever a solução implícita geral. Substituindo
em
:
A condição
fornece a solução geral da equação diferencial exata. Podemos agrupar
com a constante geral
, obtendo a solução implícita final:
onde
é uma constante arbitrária. Comentário amigável: essa é a forma mais direta e típica de apresentar a solução de uma equação exata; conseguir uma expressão explícita
pode ser impossível de forma elementar por causa do termo
, mas a solução implícita acima é a solução geral correta.
Resposta
Exata