Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
\left(x^{2}+y\right) d x+\left(x+e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar e resolver a equação diferencial dada. A equação é
\left(x^{2}+y\right)\,dx+\left(x+e^{y}\right)\,dy=0.
Listei as informações relevantes que temos:
  • Podemos escrever a equação na forma diferencial com M e N: M(x,y)=x^{2}+y,\qquad N(x,y)=x+e^{y}.
  • O que se pede: (i) classificar a equação (por exemplo: exata, linear, separável, etc.); (ii) resolver (encontrar a solução geral).

Passo 2

Teste de exatidão (explicando o conceito). Uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é chamada de exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Um teste prático: se M e N são com derivadas parciais contínuas num domínio, a forma é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y\bigr)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x+e^{y}\bigr)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1, a equação é exata. Isso significa que existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 3

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) integrando \Phi_x=M em relação a x. Lembrete didático: ao integrar em relação a x, trate y como constante.
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(x^{2}+y\bigr)\,dx.
Calcule a integral:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int y\,dx = x y \quad(\text{pois }y\text{ é constante frente a }x).é
Logo
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+x y + h(y),
onde h(y) é uma função “constante de integração” que pode depender de y (explicação: ao integrar em x existe uma constante que pode variar com y porque a derivada parcial em x de qualquer função apenas em y é zero).

Passo 4

Determinar h(y) usando a condição \Phi_y=N. Primeiro calcule \Phi_y derivando a expressão obtida em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+x y + h(y)\right)=x + h'(y).
Pelo requisito de exatidão, isso deve ser igual a N(x,y). Assim:
x + h'(y)=x+e^{y}.
Subtraindo x dos dois lados:
h'(y)=e^{y}.
Integramos em y:
h(y)=\int e^{y}\,dy=e^{y}+C_{1}.
Observação: C_{1} é uma constante; no final ela será consolidada à constante da solução geral.

Passo 5

Montar a função potencial completa e escrever a solução implícita geral. Substituindo h(y) em \Phi:
\Phi(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+x y + e^{y} + C_{1}.
A condição \Phi(x,y)=\text{constante} fornece a solução geral da equação diferencial exata. Podemos agrupar C_{1} com a constante geral C, obtendo a solução implícita final:
\frac{x^{3}}{3}+x y + e^{y}=C,
onde C é uma constante arbitrária. Comentário amigável: essa é a forma mais direta e típica de apresentar a solução de uma equação exata; conseguir uma expressão explícita y=y(x) pode ser impossível de forma elementar por causa do termo e^{y}, mas a solução implícita acima é a solução geral correta.

Resposta

Exata
\frac{x^{3}}{3}+x y + e^{y}=C

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