Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
(dica: faça
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar e resolver a equação diferencial dada. A equação fornecida é
e o enunciado dá a dica de fazer
. Não há outras informações (condições iniciais), então procuraremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Primeiro vou escrever a equação na forma mais familiar para classificar:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
), obtemos a forma explícita
Note que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios homogêneos de grau
em
e
(cada termo tem soma dos expoentes igual a
). Isso significa que o quociente depende apenas da razão
. Portanto a equação é uma equação homogênea de primeira ordem — é por isso que a dica
é apropriada.
Passo 3
Faço a substituição sugerida: defino
Quando
, a derivada
se transforma via regra do produto:
Agora substituo
na expressão do lado direito de
:
Assim a equação diferencial fica
Passo 4
Isolo o termo com
:
Faço a subtração no lado direito com denominador comum
:
Portanto
Esta equação é separável: podemos escrever
Passo 5
Agora integro ambos os lados. Antes, decomponho a fração à esquerda em frações simples (partial fractions). Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes: do termo constante vem
; do coeficiente de
vem
então
e
. Assim
Passo 6
Integrando ambos os lados:
As integrais são elementares:
onde
é constante de integração. Juntando os logaritmos do lado esquerdo:
Exponenciando (absorvendo
numa constante arbitrária positiva que chamarei
, e permitindo que
seja qualquer não-nulo real ao tratar o valor absoluto implicitamente), obtemos
Passo 7
Volto à variável original usando
:
Simplifico:
. Multiplico por
:
Esta é a solução geral implícita. Posso escrever de forma equivalente
onde
é constante arbitrária (rename
).