Classifique e resolva as EDO’s abaixo:
\left(3 y^{2}+2 x y\right) d x-\left(2 x y+x^{2}\right) d y=0 (dica: faça \left.v=\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar e resolver a equação diferencial dada. A equação fornecida é
\left(3 y^{2}+2 x y\right) d x-\left(2 x y+x^{2}\right) d y=0,
e o enunciado dá a dica de fazer \displaystyle v=\frac{y}{x}. Não há outras informações (condições iniciais), então procuraremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Primeiro vou escrever a equação na forma mais familiar para classificar:
(3y^{2}+2xy)\,dx=(2xy+x^{2})\,dy.
Dividindo ambos os lados por dx (assumindo dx\neq0), obtemos a forma explícita
\frac{dy}{dx}=\frac{3y^{2}+2xy}{2xy+x^{2}}.
Note que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios homogêneos de grau 2 em x e y (cada termo tem soma dos expoentes igual a 2). Isso significa que o quociente depende apenas da razão y/x. Portanto a equação é uma equação homogênea de primeira ordem — é por isso que a dica v=y/x é apropriada.

Passo 3

Faço a substituição sugerida: defino
v=\frac{y}{x}\quad\Rightarrow\quad y=vx.
Quando y=vx, a derivada dy/dx se transforma via regra do produto:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Agora substituo y=vx na expressão do lado direito de \dfrac{dy}{dx}:
\frac{3y^{2}+2xy}{2xy+x^{2}} =\frac{3(vx)^{2}+2x(vx)}{2x(vx)+x^{2}} =\frac{3v^{2}x^{2}+2v x^{2}}{2v x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}(3v^{2}+2v)}{x^{2}(2v+1)} =\frac{3v^{2}+2v}{2v+1}.
Assim a equação diferencial fica
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{3v^{2}+2v}{2v+1}.

Passo 4

Isolo o termo com dv/dx:
x\frac{dv}{dx}=\frac{3v^{2}+2v}{2v+1}-v.
Faço a subtração no lado direito com denominador comum (2v+1):
\frac{3v^{2}+2v - v(2v+1)}{2v+1} =\frac{3v^{2}+2v -2v^{2}-v}{2v+1} =\frac{v^{2}+v}{2v+1} =\frac{v(v+1)}{2v+1}.
Portanto
x\frac{dv}{dx}=\frac{v(v+1)}{2v+1}.
Esta equação é separável: podemos escrever
\frac{2v+1}{v(v+1)}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 5

Agora integro ambos os lados. Antes, decomponho a fração à esquerda em frações simples (partial fractions). Procuro constantes A e B tais que
\frac{2v+1}{v(v+1)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{v+1}.
Multiplicando por v(v+1) obtemos
2v+1 = A(v+1)+Bv = (A+B)v + A.
Comparando coeficientes: do termo constante vem A=1; do coeficiente de v vem A+B=2 então 1+B=2 e B=1. Assim
\frac{2v+1}{v(v+1)}=\frac{1}{v}+\frac{1}{v+1}.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
\int\left(\frac{1}{v}+\frac{1}{v+1}\right)dv=\int\frac{dx}{x}.
As integrais são elementares:
\ln|v|+\ln|v+1|=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Juntando os logaritmos do lado esquerdo:
\ln\bigl(|v(v+1)|\bigr)=\ln|x|+C.
Exponenciando (absorvendo e^{C} numa constante arbitrária positiva que chamarei K, e permitindo que K seja qualquer não-nulo real ao tratar o valor absoluto implicitamente), obtemos
v(v+1)=K x.

Passo 7

Volto à variável original usando v=\dfrac{y}{x}:
\frac{y}{x}\left(\frac{y}{x}+1\right)=K x.
Simplifico: \dfrac{y(y+x)}{x^{2}}=K x. Multiplico por x^{2}:
y(y+x)=K x^{3}.
Esta é a solução geral implícita. Posso escrever de forma equivalente
y^{2}+xy=C x^{3},
onde C é constante arbitrária (rename C=K).

Resposta

y(y+x)=C x^{3}\quad\text{ou}\quad y^{2}+xy=C x^{3},\quad C\\ \text{constante.}

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