Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(s)\left\{\begin{array}{c}x-y-z=4 \\\\ 2 x+y+2 z=3 \\\\ 2 x-5 y-6 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver (quando possível) o sistema linear
(s)\begin{cases} x-y-z=4,\\[4pt] 2x+y+2z=3,\\[4pt] 2x-5y-6z=0. \end{cases}
As perguntas implícitas são:
  • O sistema tem solução única, infinitas soluções ou é incompatível (sem solução)?
  • Se tiver solução (única ou infinita), encontrá‑la.
Informações dadas: as três equações acima envolvendo as incógnitas \,x,y,z.]

Passo 2

Vou escolher o método de eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas). Por que esse método?
  • Ele é simples de aplicar à mão para sistemas de 3 equações e 3 incógnitas.
  • Permite identificar claramente se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (contradição como 0=-13).
    Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar essas operações passo a passo.

Passo 3

Matriz aumentada inicial (colocando as constantes à direita):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & -5 & -6 & 0 \end{array}\right]
Cada linha corresponde a uma equação: primeira linha é x-y-z=4, etc.]

Passo 4

Objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha para eliminar as entradas das linhas 2 e 3).
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculando componente a componente:
  • primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • segunda coluna: 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3,
  • terceira coluna: 2 - 2\cdot(-1) = 2 + 2 = 4,
  • termo independente: 3 - 2\cdot 4 = 3 - 8 = -5.
    Logo a nova R_2 é [0\;3\;4\;|\;-5].

Passo 5

Agora R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1. Calculando:
  • primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • segunda coluna: -5 - 2\cdot(-1) = -5 + 2 = -3,
  • terceira coluna: -6 - 2\cdot(-1) = -6 + 2 = -4,
  • termo independente: 0 - 2\cdot 4 = -8.
    Logo a nova R_3 é [0\;-3\;-4\;|\;-8].

Passo 6

A matriz após as operações fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 4 & -5\\[4pt] 0 & -3 & -4 & -8 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora elimino a entrada abaixo do pivô da segunda coluna: faço R_3 \leftarrow R_3 + R_2. Calculando:
  • segunda coluna: -3 + 3 = 0,
  • terceira coluna: -4 + 4 = 0,
  • termo independente: -8 + (-5) = -13.
    Logo R_3 torna‑se [0\;0\;0\;|\;-13].

Passo 8

A nova matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 4 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -13 \end{array}\right].
A terceira linha corresponde à equação 0x+0y+0z=-13, ou seja 0=-13, que é uma contradição. Isso significa que o sistema não admite nenhuma solução: é incompatível.
Explicando com o conceito de posto (rank): o posto da matriz dos coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2 (duas linhas independentes: as duas primeiras), enquanto o posto da matriz aumentada é \operatorname{rank}([A|b])=3 (há uma linha da forma [0\;0\;0\;|\;-13] que torna o posto maior). Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A|b]), pela condição de Rouché–Capelli o sistema é incompatível (sem solução).]

Resposta

O sistema é incompatível, ou seja, não tem solução.

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