Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo: (s)\left\{\begin{array}{c}x-y-z=4 \\\\ 2 x+y+2 z=3 \\\\ 2 x-5 y-6 z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para classificar e resolver (quando possível) o sistema linear
O sistema tem solução única, infinitas soluções ou é incompatível (sem solução)?
Se tiver solução (única ou infinita), encontrá‑la.
Informações dadas: as três equações acima envolvendo as incógnitas \,x,y,z.]
Passo 2
Vou escolher o método de eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas). Por que esse método?
Ele é simples de aplicar à mão para sistemas de 3 equações e 3 incógnitas.
Permite identificar claramente se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (contradição como 0=-13).
Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto de soluções):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar essas operações passo a passo.
Passo 3
Matriz aumentada inicial (colocando as constantes à direita):
Cada linha corresponde a uma equação: primeira linha é x-y-z=4, etc.]
Passo 4
Objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha para eliminar as entradas das linhas 2 e 3).
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculando componente a componente:
primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
segunda coluna: 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3,
terceira coluna: 2 - 2\cdot(-1) = 2 + 2 = 4,
termo independente: 3 - 2\cdot 4 = 3 - 8 = -5.
Logo a nova R_2 é [0\;3\;4\;|\;-5].
Passo 5
Agora R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1. Calculando:
primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
segunda coluna: -5 - 2\cdot(-1) = -5 + 2 = -3,
terceira coluna: -6 - 2\cdot(-1) = -6 + 2 = -4,
termo independente: 0 - 2\cdot 4 = -8.
Logo a nova R_3 é [0\;-3\;-4\;|\;-8].
A terceira linha corresponde à equação 0x+0y+0z=-13, ou seja 0=-13, que é uma contradição. Isso significa que o sistema não admite nenhuma solução: é incompatível.
Explicando com o conceito de posto (rank): o posto da matriz dos coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2 (duas linhas independentes: as duas primeiras), enquanto o posto da matriz aumentada é \operatorname{rank}([A|b])=3 (há uma linha da forma [0\;0\;0\;|\;-13] que torna o posto maior). Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A|b]), pela condição de Rouché–Capelli o sistema é incompatível (sem solução).]
Resposta
O sistema é incompatível, ou seja, não tem solução.