Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(k)\left\{\begin{array}{c}x-y+z=4 \\\\ 2 x+y+2 z=8 \\\ x-2 y-z=0 \\\\ 3 x-5 y-z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com quatro equações e três incógnitas e pede que o classifiquemos e o resolvamos quando possível. As equações fornecidas são:
\begin{cases} x - y + z = 4,\\[4pt] 2x + y + 2z = 8,\\[4pt] x - 2y - z = 0,\\[4pt] 3x - 5y - z = 6. \end{cases}
O que se espera:
  • Determinar se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (não tem solução).
  • Se for compatível, decidir se a solução é única ou se há infinitas soluções, e então encontrar as soluções.]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (aula rápida e prática):
  • Vou usar eliminação por linhas (esquema tipo Gauss) transformando o sistema em uma forma escalonada. Isso facilita ver se aparece uma contradição do tipo 0= \text{constante não zero}ã.
  • Conceito importante: o posto (rank) da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada. Regras práticas:
    • Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas, há solução única.
    • Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções.
    • Se o posto da matriz dos coeficientes for menor que o posto da matriz aumentada, o sistema é incompatível (não tem solução).
  • Operações elementares por linha não mudam o conjunto de soluções; usarei elas para chegar a uma forma que revele o posto ou uma eventual contradição.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (colunas: x,y,z e coluna dos termos constantes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 1 & 2 & 8\\[4pt] 1 & -2 & -1 & 0\\[4pt] 3 & -5 & -1 & 6 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação usando a primeira linha como pivô (zerar as entradas abaixo da primeira coluna):
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: R_2: \;[2,1,2,8] - 2[1,-1,1,4] = [0,3,0,0].
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_1: R_3: \;[1,-2,-1,0] - [1,-1,1,4] = [0,-1,-2,-4].
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1: R_4: \;[3,-5,-1,6] - 3[1,-1,1,4] = [0,-2,-4,-6].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -4\\[4pt] 0 & -2 & -4 & -6 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora uso a segunda linha R_2 (pivot 3 na coluna y) para zerar as entradas abaixo na coluna 2. Para evitar trabalho excessivo com frações, uso combinações simples:
  • Note que \dfrac{1}{3}R_2 = [0,1,0,0]. Faço R_3 \leftarrow R_3 + \dfrac{1}{3}R_2: R_3: \;[0,-1,-2,-4] + [0,1,0,0] = [0,0,-2,-4].
  • Similarmente, \dfrac{2}{3}R_2 = [0,2,0,0]. Faço R_4 \leftarrow R_4 + \dfrac{2}{3}R_2: R_4: \;[0,-2,-4,-6] + [0,2,0,0] = [0,0,-4,-6].
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & -4 & -6 \end{array}\right]]

Passo 6

Uso a terceira linha R_3 (pivot -2 na coluna z) para zerar a entrada abaixo dela na coluna 3:
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 - 2R_3: R_4: \;[0,0,-4,-6] - 2[0,0,-2,-4] = [0,0,0,2].
Agora a matriz está:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretação do resultado e conclusão:
  • A última linha da forma escalonada corresponde a \;0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 2,\; ou seja \;0 = 2.
  • Isso é uma contradição impossível. Sempre que, após eliminação, aparece uma linha do tipo \;[0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0, o sistema é incompatível: não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações.
  • Em termos de posto: o posto da matriz dos coeficientes é 3 (há pivôs nas três colunas de incógnitas), enquanto o posto da matriz aumentada é 4 (há uma linha não nula adicional quando se inclui a coluna dos termos constantes). Como os postos são diferentes, o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema é incompatível (não possui solução).

Exercícios relacionados