Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo: (k)\left\{\begin{array}{c}x-y+z=4 \\\\ 2 x+y+2 z=8 \\\ x-2 y-z=0 \\\\ 3 x-5 y-z=6\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema com quatro equações e três incógnitas e pede que o classifiquemos e o resolvamos quando possível. As equações fornecidas são:
\begin{cases} x - y + z = 4,\\[4pt] 2x + y + 2z = 8,\\[4pt] x - 2y - z = 0,\\[4pt] 3x - 5y - z = 6. \end{cases}
O que se espera:
Determinar se o sistema é compatível (tem solução) ou incompatível (não tem solução).
Se for compatível, decidir se a solução é única ou se há infinitas soluções, e então encontrar as soluções.]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (aula rápida e prática):
Vou usar eliminação por linhas (esquema tipo Gauss) transformando o sistema em uma forma escalonada. Isso facilita ver se aparece uma contradição do tipo 0= \text{constante não zero}ã.
Conceito importante: o posto (rank) da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada. Regras práticas:
Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas, há solução única.
Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada e menor que o número de incógnitas, há infinitas soluções.
Se o posto da matriz dos coeficientes for menor que o posto da matriz aumentada, o sistema é incompatível (não tem solução).
Operações elementares por linha não mudam o conjunto de soluções; usarei elas para chegar a uma forma que revele o posto ou uma eventual contradição.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (colunas: x,y,z e coluna dos termos constantes):
Agora uso a segunda linha R_2 (pivot 3 na coluna y) para zerar as entradas abaixo na coluna 2. Para evitar trabalho excessivo com frações, uso combinações simples:
A última linha da forma escalonada corresponde a \;0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 2,\; ou seja \;0 = 2.
Isso é uma contradição impossível. Sempre que, após eliminação, aparece uma linha do tipo \;[0\;0\;0\;|\;c] com c\neq 0, o sistema é incompatível: não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações.
Em termos de posto: o posto da matriz dos coeficientes é 3 (há pivôs nas três colunas de incógnitas), enquanto o posto da matriz aumentada é 4 (há uma linha não nula adicional quando se inclui a coluna dos termos constantes). Como os postos são diferentes, o sistema é incompatível.