Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
Passo 1
O sistema tem 4 incógnitas (x,y,z,t) e 3 equações. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por substituição e classificação (determinado, indeterminado ou impossível). Vamos usar substituição para expressar as incógnitas em função de um parâmetro.
Passo 2
Da primeira equação,
3x - y = 1
podemos isolar y em função de x:
y = 3x - 1.
Isso nos dá uma expressão de y para usar nas próximas substituições.
3x - y = 1
podemos isolar y em função de x:
y = 3x - 1.
Isso nos dá uma expressão de y para usar nas próximas substituições.
Passo 3
Na segunda equação,
2y - 5z = -11,
substituímos y = 3x - 1:
2(3x - 1) - 5z = -11
⇔ 6x - 2 - 5z = -11
⇔ 6x - 5z = -9
⇔ x = \frac{5z - 9}{6}.
Agora expressamos x em função de z.
2y - 5z = -11,
substituímos y = 3x - 1:
2(3x - 1) - 5z = -11
⇔ 6x - 2 - 5z = -11
⇔ 6x - 5z = -9
⇔ x = \frac{5z - 9}{6}.
Agora expressamos x em função de z.
Passo 4
Já temos x e y em função de z. Falta achar t usando a terceira equação:
x + y + z + t = 10.
Substituindo x = \frac{5z - 9}{6} e y = 3x - 1 = \frac{5z - 11}{2},
t = 10 - \Bigl(\frac{5z - 9}{6} + \frac{5z - 11}{2} + z\Bigr)
⇔ t = 10 - \bigl(\frac{5z - 9}{6} + \frac{3(5z - 11)}{6} + \frac{6z}{6}\bigr)
⇔ t = 10 - \frac{5z - 9 + 15z - 33 + 6z}{6}
⇔ t = 10 - \frac{26z - 42}{6}
⇔ t = 17 - \frac{13z}{3}
⇔ t = \frac{51 - 13z}{3}.
x + y + z + t = 10.
Substituindo x = \frac{5z - 9}{6} e y = 3x - 1 = \frac{5z - 11}{2},
t = 10 - \Bigl(\frac{5z - 9}{6} + \frac{5z - 11}{2} + z\Bigr)
⇔ t = 10 - \bigl(\frac{5z - 9}{6} + \frac{3(5z - 11)}{6} + \frac{6z}{6}\bigr)
⇔ t = 10 - \frac{5z - 9 + 15z - 33 + 6z}{6}
⇔ t = 10 - \frac{26z - 42}{6}
⇔ t = 17 - \frac{13z}{3}
⇔ t = \frac{51 - 13z}{3}.
Passo 5
Como sobra um parâmetro livre (z pode ser qualquer número real), o sistema é indeterminado e tem infinitas soluções. Podemos definir z = λ ∈ ℝ e escrever a solução parametricamente:
Resposta
O sistema é indeterminado e sua solução geral é