Questão 9. Encontre a linearização L(x, y) da função em cada ponto.
f(x, y)=3 x-4 y+5, (0,0)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente encontrar a linearização de
f(x,y) = 3x - 4y + 5
no ponto (0,0). Isso faz parte do assunto de aproximação linear (ou linearização), que é baseada em derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Calcular as derivadas parciais fx e fy.
  2. Avaliar f, fx e fy no ponto (0,0).
  3. Usar a fórmula da linearização:
L(x,y) = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b)

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que são derivadas parciais:
  • fx é a derivada de f em relação a x, considerando y constante.
  • fy é a derivada de f em relação a y, considerando x constante.
No nosso caso:
f(x,y) = 3x - 4y + 5
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fx(x,y) = partialpartial x(3x - 4y + 5) = 3,
fy(x,y) = partialpartial y(3x - 4y + 5) = -4

Passo 3

Agora a gente avalia tudo no ponto (a,b) = (0,0):
f(0,0) = 3cdot0 - 4cdot0 + 5 = 5,
fx(0,0) = 3, fy(0,0) = -4
Aplicando a fórmula da linearização
L(x,y) = f(0,0) + fx(0,0),(x-0) + fy(0,0),(y-0),
ficamos com
L(x,y) = 5 + 3,x + (-4),y = 5 + 3x - 4y

Resposta

boxedL(x,y) = 5 + 3x - 4y

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