Questão 12. Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções abaixo.
Passo 1
Beleza, o exercício pede: “Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela de
Aqui a matéria é Cálculo Multivariável: a gente vai usar derivadas parciais pra achar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e depois usar a Hessiana (matriz das segundas derivadas) pra classificar cada ponto como mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente de
. Como
com
pela regra da cadeia temos
Agora as derivadas de
:
Logo
Para achar ponto crítico, igualamos
e
. Como
nunca zera, a gente precisa de
Então o único candidato a ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, pra classificar, usamos a Hessiana de
ou, de forma mais simples, observamos que
e
é função monótona crescente em
. Isso significa que mínimo de
vira mínimo de
, mesmo para máximos e selas.
O polinômio é um forma quadrática cujo Hessiano constante é
O polinômio
que é positiva definida (ambos autovalores valem 2>0). Logo
tem um mínimo estrito em
.
Portanto também tem um mínimo em
. Não há máximos locais nem pontos de sela.
Portanto
Resposta
Mínimo local (e global) em
com valor
Não existem máximos locais nem pontos de sela.