Questão 12. Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções abaixo.
f(x, y)=e^x^2+y^2-4 x

Passo 1

Beleza, o exercício pede: “Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela de
f(x,y)=e^x^2+y^2-4x,
Aqui a matéria é Cálculo Multivariável: a gente vai usar derivadas parciais pra achar pontos críticos (onde o gradiente é zero) e depois usar a Hessiana (matriz das segundas derivadas) pra classificar cada ponto como mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de f. Como f(x,y)=e^Q(x,y) com
Q(x,y)=x^2+y^2-4x,,
pela regra da cadeia temos
fx = partial fpartial x=e^Q,partial Qpartial x, fy = e^Q,partial Qpartial y
Agora as derivadas de Q:
Qx = 2x-4, Qy=2y
Logo
fx = e^Q(2x-4), fy = e^Q(2y)
Para achar ponto crítico, igualamos fx=0 e fy=0. Como e^Q>0 nunca zera, a gente precisa de
2x-4=0 Rightarrow x=2, 2y=0 Rightarrow y=0
Então o único candidato a ponto crítico é (2,0).

Passo 3

Agora, pra classificar, usamos a Hessiana de ou, de forma mais simples, observamos que e é função monótona crescente em . Isso significa que mínimo de vira mínimo de , mesmo para máximos e selas.
O polinômio é um forma quadrática cujo Hessiano constante é
que é positiva definida (ambos autovalores valem 2>0). Logo tem um mínimo estrito em .
Portanto também tem um mínimo em . Não há máximos locais nem pontos de sela.

Resposta

Mínimo local (e global) em (2,0) com valor
f(2,0)=e^2^2+0^2-4cdot2=e^-4
Não existem máximos locais nem pontos de sela.

Exercícios relacionados