Questão 4. Encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
f(x, y)=x^2+x y+y^2, P0(-1,1)

Passo 1

Beleza, a questão quer que a gente ache, para
f(x,y)=x^2+xy+y^2
no ponto P0=(-1,1):
  1. A direção em que f cresce mais rápido;
  2. A direção em que f decresce mais rápido;
  3. As derivadas direcionais nessas direções.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Vamos precisar
  • calcular as derivadas parciais;
  • montar o vetor gradiente;
  • normalizar esse vetor pra achar as direções unitárias;
  • usar a definição de derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y)=2x+y, partial fpartial y(x,y)=x+2y
Teoria rapidinha: cada derivada parcial mostra como f varia se você mexe só numa variável, mantendo a outra fixa.

Passo 3

O vetor gradiente é
nabla f(x,y)=l(tfracpartial fpartial x,,tfracpartial fpartial yr)
Em P0=(-1,1) temos
nabla f(-1,1) =l(2cdot(-1)+1,;(-1)+2cdot1r) =(-1,,1)
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de f.

Passo 4

Pra virar direção unitária, calculamos o módulo do gradiente:
|nabla f(-1,1)| =raiz(-1)^2+1^2 =raiz2
Então a direção de maior aumento (unitária) é
umax =nabla f(-1,1)|nabla f(-1,1)| =l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)
E a de maior diminuição é o oposto:
umin =-,umax =l(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)

Passo 5

A derivada direcional em u é
D uf(P0) =nabla f(P0)cdot u
Logo,
Dumaxf(-1,1) =(-1,1)cdotl(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =raiz2,
Duminf(-1,1) =(-1,1)cdotl(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) =-raiz2

Resposta

Direção de maior aumento:
umax=l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r), com derivada raiz2.
Direção de maior diminuição:
umin=l(tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r), com derivada -raiz2.

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