Questão 4. Encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em
. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
Passo 1
Beleza, a questão quer que a gente ache, para
no ponto
:
- A direção em que
cresce mais rápido; - A direção em que
decresce mais rápido; - As derivadas direcionais nessas direções.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Vamos precisar
- calcular as derivadas parciais;
- montar o vetor gradiente;
- normalizar esse vetor pra achar as direções unitárias;
- usar a definição de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, as derivadas parciais:
Teoria rapidinha: cada derivada parcial mostra como
varia se você mexe só numa variável, mantendo a outra fixa.
Passo 3
O vetor gradiente é
Em
temos
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de
.
Passo 4
Pra virar direção unitária, calculamos o módulo do gradiente:
Então a direção de maior aumento (unitária) é
E a de maior diminuição é o oposto:
Passo 5
A derivada direcional em
é
Logo,
Resposta
Direção de maior aumento:
, com derivada
.
Direção de maior diminuição:
, com derivada
.
Direção de maior diminuição: