Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
2 x+y-z & =-6 x-y+3 z & =21 3 x+2 z & =15

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com três equações e três incógnitas x,y,z:
2x + y - z = -6, x - y + 3z = 21, 3x + 2z = 15
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação de variáveis e classificação segundo o número de soluções.

Passo 2

Vamos isolar x na segunda equação, pois ela já tem coeficiente 1 em x. Da equação
x - y + 3z = 21
segue
x = y - 3z + 21

Passo 3

Substituímos essa expressão de x nas equações restantes.
  1. Na primeira:
2x + y - z = -6 Longrightarrow 2(y - 3z + 21) + y - z = -6
Longrightarrow; 2y -6z +42 + y - z = -6 Longrightarrow 3y -7z = -48
  1. Na terceira:
3x + 2z = 15 Longrightarrow 3(y - 3z +21) + 2z = 15
Longrightarrow; 3y -9z +63 +2z = 15 Longrightarrow 3y -7z = -48

Passo 4

Observamos que ambas substituições geraram a mesma equação
3y - 7z = -48
Portanto, ao reduzir o sistema, ficamos com duas equações independentes em três incógnitas ( x já expresso em função de y,z e uma única relação entre y e z).

Passo 5

Como temos menos equações independentes que variáveis, o sistema é indeterminado e possui infinitas soluções. Introduzimos um parâmetro livre tinR para z:
z = t
Da relação 3y - 7z = -48 vem
3y - 7t = -48 Longrightarrow y = -48 + 7t3
E como x = y - 3z +21, obtemos
x = -48 + 7t3 ;-; 3t + 21 = -48 + 7t -9t +633 = 15 - 2t3

Resposta

O sistema é indeterminado e tem infinitas soluções, dadas por
l(x,y,zr) = l(tfrac15 - 2t3,,tfrac-48 + 7t3,,tr), tinR

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